¿La introducción de un campo de calibre en la teoría del campo escalar complejo Lagrangiano cambia su dinámica?

Esto es cierto y es lo que se llama el principio de calibre. Nos dice que si hacemos que una simetría global sea local, debemos agregar un campo de calibre correspondiente de modo que el Lagrangiano total siga siendo invariable bajo esta transformación de calibre local. Este es un nuevo campo dinámico que tiene sus propias ecuaciones de movimiento y puede acoplarse al fermión dando lugar a interacciones.

En este caso, el Lagrangiano original es invariante bajo$U(1)$como$\psi \to \psi e^{i \alpha}$, tenga en cuenta que también$\partial_\mu \psi \to \partial_\mu \psi e^{i \alpha}$. Decimos que estos campos se transforman en la representación fundamental de$U(1)$.

Ahora, después de hacer que nuestra transformación sea local:$\alpha \equiv \alpha(x)$es fácil ver eso$\partial_\mu \psi \not\to \partial_\mu \psi e^{i \alpha(x)}$
Para dar cuenta de esto, ya que todavía queremos que nuestro campo se transforme en la representación fundamental, tenemos que introducir un campo de calibre$A_\mu(x)$y una derivada covariante$\mathcal{D}_\mu$tal que$\mathcal{D}_\mu \psi \to \mathcal{D}_\mu \psi e^{i\alpha(x)}$. Esta última transformación dicta cómo$A_\mu(x)$debe transformar.

Como se mencionó en algunos de los comentarios, los lagrangianos

$$\mathcal{L}=(\partial^\mu\psi)^\dagger(\partial_\mu\psi)-m^2\psi^\dagger\psi$$ y $$\mathcal{L}=(D^\mu\psi)^\dagger(D_\mu\psi)-m^2\psi^\dagger\psi+\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$ representan distintas teorías, cada una con sus propias propiedades.

La forma habitual de motivar la transición de la teoría "no medida" a la teoría "medida" es señalar que si queremos invariancia bajo la transformación$\psi\rightarrow e^{i\alpha}\psi$para$\alpha=\alpha(x)$una función real arbitraria, luego tomando un Lagrangiano que ya es invariante en el caso especial donde$\alpha$es una constante y reemplazando todas las derivadas de$\psi$por derivadas covariantes$D_\mu$, sería lo suficientemente bueno para construir un Lagrangiano que también sea invariante bajo las transformaciones locales.

Sin embargo, hay otra forma de ver las cosas que puede parecer un poco menos ad hoc. Aunque este punto de vista se puede describir en términos de este ejemplo de$\psi$campos, es un poco más natural comenzar con el ejemplo de un campo vectorial.

Entonces, supongamos que$V^a$son los componentes de algún campo vectorial; tenga en cuenta que estos son solo los componentes. El campo vectorial en sí, lo que significa que el objeto abstracto que es invariante bajo los cambios de coordenadas es$V=V^a\boldsymbol{e}_a$donde el$\boldsymbol{e}_a$forman una base de vectores en cada punto del espacio (técnicamente llamados campos de trama). Por ejemplo, en dos dimensiones, podríamos tomar$\boldsymbol{e}_0=\boldsymbol{\hat r}$y$\boldsymbol{e}_1=\boldsymbol{\hat \theta}$.

Ahora, la suposición clave es que la física de nuestro sistema no debería depender de los vectores base que elegimos para representar nuestros campos vectoriales, es decir, si cambiamos a vectores unitarios cartesianos en lugar de vectores unitarios polares, los componentes$V^a$ciertamente necesitaría cambiar, pero el objeto$V=V^a\boldsymbol{e}_a$no debe.

Dado que cualquier cambio en los vectores base$\boldsymbol{e}_a$será un mapa (lineal) de un espacio lineal a sí mismo, estos pueden ser representados por matrices$U^a_b$por lo que bajo un cambio en la base tendríamos$\boldsymbol{e}^\prime_a=U^b_a\boldsymbol{e}_b$. Si realmente vamos a ser independientes de los vectores de base, podremos realizar tal transformación punto por punto, estas matrices de cambio de base pueden tener una dependencia arbitraria en el punto del espacio-tiempo,$U^a_b=U^a_b(x)$. Para poder$V$para ser independientes de estos cambios, los componentes deben transformarse por el inverso de$U$,$V^{\prime\,a}=U^{-1\, a}_b V^b$.

Finalmente ahora, queremos construir nuestro Lagrangiano a partir de$V$y sus derivados. Siempre que nuestra variedad tenga una métrica, podemos construir derivadas arbitrariamente altas a partir de la diferencial$d$y el doble de Hodge$*$. Si calculamos el diferencial de$V$en términos de los componentes, encontraríamos

$$dV=(dV^a)\boldsymbol{e}_b+V^a(d\boldsymbol{e}_b).$$ El diferencial de los componentes es simple porque estos son todos$0$-formas (escalares), y así$d V^a=\partial_\nu V^adx^\nu$. Para el diferencial de los vectores base, primero podemos notar que el resultado debe

a) ser una forma 1

b) sea alguna combinación de vectores unitarios nuevamente.

Estas dos declaraciones juntas implican que el diferencial debe tomar la forma genérica

$$d\boldsymbol{e}_a=(A_\mu)_a^b\boldsymbol{e}_bdx^\mu$$ dónde$A_{\mu\,b}^a$es una función desconocida, sugerentemente nombrada. Volviendo a poner este resultado en el cálculo de$dV$, encontramos $$dV=\partial_\mu V^a\boldsymbol{e}_adx^\mu+V^aA_{\mu\,a}^b\boldsymbol{e}_bdx^\mu.$$ Reuniendo los diferenciales, vectores unitarios y componentes juntos, esto se convierte en $$dV=\boldsymbol{e}_adx^\mu(\delta^a_b\partial_\mu+A_{\mu\,b}^a)V^b=\boldsymbol{e}_adx^\mu(D_\mu)^a_bV^b.$$ En la última línea hemos identificado la derivada covariante$D$. Esto difiere ligeramente de la derivada covariante en la pregunta por escalas generales de$A$(el$iq$) que podría haber sido absorbido en nuestra definición de$A$.

Esta expresión también difiere ligeramente de lo que está en la pregunta por los índices adicionales$a$y$b$flotando alrededor. En el caso del campo escalar complejo, no estamos tratando con un vector, sino con algún objeto$\tilde \psi=\psi z$donde ahora$z$es un número complejo con$|z|=1$. Esto ahora juega el papel de nuestra$\boldsymbol{e}$'s jugado antes (pero no tiene índices).

Desde$z$debe tener módulo 1, solo podemos transformar a un nuevo$z$por$z^\prime=e^{iq\alpha}z$dónde$\alpha=\alpha(x)$de la misma manera la matriz de cambio de base$U$se le permitió variar punto a punto (y$q$se ha puesto por conveniencia). Como no hay índices sobre esto$z$, nuestro cálculo del diferencial produciría

$$d\tilde \psi=dx^\mu zD_\mu\psi=dx^\mu z(\partial_\mu+iqA_\mu)\psi.$$

Como nota al margen divertida, observe que si en el ejemplo de un vector renombramos$A$a$\Gamma$y llamamos al potencial de calibre un símbolo de Christoffel en su lugar, reproduciríamos inmediatamente la derivada covariante de la relatividad general.