Pregunta sobre las transformaciones de calibre de un modelo sigma no lineal

Considere un conjunto de campos escalares$\phi^i$($i = 1, 2, \ldots, N$) que ahora acoplaríamos a un conjunto de campos vectoriales de calibre$A_\mu^A$dónde$A = 1, 2, \ldots \text{dim}(G)$($G$es genéricamente un grupo calibre no abeliano). La receta (de acoplamiento mínimo) para hacerlo es el reemplazo habitual de la derivada estándar por la derivada covariante de calibre:

$$\partial_\mu \phi^i \longrightarrow D_\mu \phi^i \equiv \partial_\mu\phi^i - A_\mu^A K_A{}^i$$

dónde$K_A^i$son vectores Killing que satisfacen la condición Killing$\mathcal{L}_{K_A}g_{ij} = 0$y el algebra$\mathcal{L}_{K_A}K_{B} = [K_A, K_B] = f_{AB}{}^C K_C$(aquí$f_{AB}{}^C$son las constantes de estructura del álgebra de Lie de$G$, y$K_A \stackrel{\Delta}{=} K_A{}^i\partial_i$).

Una transformación de calibre infinitesimal está dada por

$$\delta\phi^i = \Lambda^A K_A{}^i$$ $$\delta A_\mu^A = \partial_\mu \Lambda^A + f^A{}_{BC}A_\mu^B\Lambda^C$$

Los parametros$\Lambda^A$son funciones arbitrarias del espacio-tiempo. Todo esto es del libro de Cecotti titulado "Teorías de campos supersimétricos". Para ver un extracto, haga clic aquí .

Ahora bien, el autor afirma

$$\label{eq:A}\delta D_\mu\phi^i = \Lambda^A(\partial_j K_A^i)D_\mu\phi^j + A_\mu^B\Lambda^C[K_B{}^j\partial_j K_C^i-K_C{}^i\partial_j K_B{}^i]-f_{BC}{}^A A_\mu^B \Lambda^C K_A^i = \Lambda^A(\partial_j K_A^i)D_\mu\phi^j \qquad \text{(#)}$$

No entiendo cómo se ha llegado a esta ecuación (la primera igualdad).

Si el espacio-tiempo se denota por$\Sigma$y etiquetados por coordenadas$x^\mu$y el espacio de destino (el espacio donde$\phi^i$'s live) se denota por$\mathcal{M}$(entonces el índice$i$etiquetas coordenadas de$\mathcal{M}$, es decir, los campos$\phi^i$), entonces tengo entendido que$\delta\phi^i = \Lambda^A K_A^i$es un difeomorfismo en el espacio objetivo, y esperaría

$$\delta K_A^i(\phi) \stackrel{?}{=} \Lambda^B \partial_B K^j \partial_j K_A^i - \partial_j(\Lambda^B K_B^i)K_A^j = \Lambda^B (f_{BA}{}^C K_C{}^i) - (\partial_j \Lambda^B)K_B^i K_A^j$$

donde podemos tomar$\partial_j \Lambda^B = 0$porque$\Lambda^B$(como parámetro valorado del álgebra de Lie) no es una función de$\phi^i$'s.

En el libro de Cecotti, la ley de transformación para$K_A^i$no se da Sin embargo, en un libro de Tomás Ortín titulado "Gravity and Strings" (para un extracto, haga clic aquí ), la ley de transformación para$K_A^i$es (ver Apéndice J, ecuación J.8 si desea consultar el libro)

$$\delta K_A{}^i = \Lambda^B K_B{}^j \partial_j K_A{}^i$$

que es solo el primer término (el ``término de transporte'') de lo que escribí anteriormente.

Mi primera pregunta es : ¿por qué la ley de transformación para$K_A{}^i$contener una derivada del parámetro de transformación, dado que el parámetro de transformación es local (en el espacio de destino) ya que$K_A{}^i$depende en general de los campos$\phi^1, \ldots, \phi^N$?

Mi segunda pregunta está relacionada con la derivación real de la ecuación (#): Hice lo ingenuo de escribir

$$\delta D_\mu\phi^i = \delta(\partial_\mu \phi^i - A_\mu^A K_A{}^i)$$

y luego tomando el$\delta$en, utilizando las leyes de transformación de$\phi^i$,$A_\mu^A$y$K_A{}^i$. Esperaba obtener (#) pero ni siquiera obtengo el primer término de esta manera. ¿Qué estoy haciendo mal?