Descargo de responsabilidad. Soy un estudiante de posgrado en matemáticas puras, por lo que mi conocimiento de la física más avanzada que la física básica de pregrado de 1er/2do año es muy limitado. Doy la bienvenida a las correcciones sobre cualquier concepto erróneo presente en mi pregunta.
Fondo. De las lecturas que he hecho en línea (principalmente en Wikipedia y notas de conferencias en línea), entiendo que, según la teoría de la mecánica cuántica, los posibles niveles de energía de un sistema cuántico a veces se describen utilizando los valores propios de un operador hermitiano. llamado operador hamiltoniano en un espacio de Hilbert (posiblemente de dimensión infinita), que (por conveniencia) a veces se aproxima usando un gran matriz hermitiana (es decir, con ).
Además, entiendo que para muchos sistemas muy complicados y que fluctúan rápidamente (como los núcleos atómicos pesados), a menudo uno está más interesado en un operador hermitiano genérico o típico , que se puede modelar definiendo nuestra aproximación como una matriz hermítica aleatoria.
De acuerdo con lo que he escrito hasta ahora, entiendo al menos parcialmente el interés de estudiar el espectro de grandes matrices hermitianas para aplicaciones en física.
Sin embargo, cuando se mencionan aplicaciones en física en la teoría de matrices aleatorias , generalmente se hace mucho énfasis en los conjuntos de matrices aleatorias invariantes , que son conjuntos de matrices aleatorias. cuyas distribuciones son invariantes bajo conjugación por matrices de uno de los grupos de Lie de matrices clásicas. Por ejemplo, la matriz aleatoria se dice que pertenece a un conjunto unitario si la distribución de probabilidad de es igual a la distribución de probabilidad de para toda matriz unitaria . Esto me lleva a la siguiente pregunta:
Pregunta. ¿Hay alguna razón física por la que los físicos estén especialmente interesados en los conjuntos invariantes? Mientras investigaba esto, encontré el siguiente párrafo en un documento que parece abordar esta pregunta
Físicamente, un conjunto de matriz aleatoria invariable describe estados extendidos (pero aleatorizados en fase), donde los efectos de localización son insignificantes. En contraste con eso, cualquier conjunto no invariante da cuenta de una especie de estructura de funciones propias (por ejemplo, localización) en una base dada que puede no ser el caso en una base rotada diferente (recuerde los estados extendidos en el modelo de enlace estricto que son las combinaciones lineales de estados localizados en un sitio dado).
pero dada mi falta de conocimiento de la jerga de la física, no entiendo muy bien qué significa "los efectos de localización son insignificantes".
No estoy seguro de si esto es correcto, pero creo que la motivación física para los conjuntos de matrices aleatorias está relacionada con la simetría. En física, a menudo tiene, por ejemplo, simetría rotacional, por lo que su energía potencial o acción o algo es invariante cuando su vector de posición sufre una rotación: . Este requisito, que ninguna dirección es especial, significa que su cantidad solo debe depender de la magnitud de la posición (o velocidad, o lo que sea).
De la misma manera, si tu teoría cuántica es aleatoria, no debería privilegiar ningún estado . Sobre cualquier otro estado. Por lo tanto, su conjunto de matrices debe ser invariante bajo transformaciones unitarias (el equivalente de rotaciones, en el sentido de que la magnitud no cambia) . Sin embargo, si pensamos que esa transformación unitaria actúa sobre el hamiltoniano en lugar del estado, entonces nuestro conjunto debería satisfacer
Podría preguntarse por qué deberíamos estar restringidos a transformaciones unitarias. En la imagen clásica, nos ceñimos a las rotaciones porque a menudo ocurre que la dirección no importa pero sí la magnitud (por ejemplo, para la energía cinética como función de la velocidad). Aquí, sin embargo, creo que nos limitamos a las transformaciones unitarias porque los estados cuánticos están normalizados, por lo que normalmente no tiene sentido hablar de cambiar su magnitud.
Aquí hay un ejemplo del uso de la teoría de matrices aleatorias en física, más específicamente en modelos inflacionarios donde muchos campos contribuyen a la inflación ( referencia ).
En este contexto, la teoría de matrices aleatorias se utiliza para mantener un alto nivel de generalidad: Falta (una forma de obtener) información completa sobre el potencial inflacionario , se quiere averiguar qué sucede si se intenta suponer sólo unas pocas propiedades del potencial al que está sujeto cada campo. Entonces puede ser informativo preguntarse cuáles son las propiedades genéricas de los potenciales que obedecen estas condiciones.
Como resultado, los supuestos básicos que parecen razonables imponer en cualquier teoría realista (por supuesto, esto está en discusión) restringen la matriz hessiana asociada con el potencial de los campos a un conjunto bien conocido de matrices aleatorias, la ortogonal gaussiana. Conjunto. Luego se puede usar la teoría de matrices aleatorias para estudiar las características genéricas de estos potenciales, descubriendo exactamente cuánto podemos decir sobre una amplia clase de posibles potenciales inflacionarios.
La teoría de matrices aleatorias solía ser muy popular para estudiar el transporte cuántico, consulte, por ejemplo, esta revisión de Beenakker , particularmente en el contexto de los fenómenos de localización (localización fuerte, localización débil, etc.)
Una matriz de dispersión aleatoria debe (en un gran número de escenarios) obedecer una serie de restricciones físicas. El principio de estos es la conservación de la energía, la reciprocidad y la simetría de inversión del tiempo. En un contexto cuántico, también tiene la conservación de la probabilidad (es decir, la normalización de la función de onda). Estos imponen algunas simetrías necesarias en la matriz de dispersión (ver, por ejemplo , doi.org/10.1103/PhysRevResearch.3.013129 )
No soy realmente físico, ni siquiera soy experto en matemáticas, pero creo que entiendo por qué estás haciendo la pregunta. Corrígeme si me equivoco, pero parece que estás insinuando el hecho de que fuera de la teoría matemática, el entorno de laboratorio controlado, las simulaciones... no parece útil trabajar con matrices aleatorias invariantes. (Las cosas tienden a ser de naturaleza variable y hay toneladas o factores externos).
Mi respuesta es esta, porque no puedo pensar en otra cosa: puertas lógicas cuánticas.
En informática, cuando generamos varias versiones de un entorno aleatorio para recopilar datos, podemos elegir algunos valores para que permanezcan constantes entre los entornos. No conozco toda la terminología que están usando, pero esto parece un ejemplo de eso. Los valores generados aleatoriamente son un uso común para la computación cuántica. ¡Por supuesto, podría estar completamente equivocado aquí!
Un uso adicional de la teoría de matrices aleatorias aparece en la gravedad cuántica. La teoría de matriz aleatoria se puede utilizar para analizar la amplitud de transición entre dos estados y también para encontrar un diagrama de fase correspondiente. Aquí Modelo de dos matrices con interacción ABAB o aquí
El diagrama de fase del modelo ABAB puede encontrar una conexión con las triangulaciones dinámicas, que se basa en el cálculo de Regge. Tiene una extensión a modelos de tensores de colores de dimensiones más altas , que se pueden usar en gravedad cuántica 4-d, ¡por lo tanto, es muy relevante!
Creo que vale la pena pensar en el concepto de « uniformidad ». ¿Qué hace que la medida uniforme en un conjunto finito sea especial? Es el único (probabilidad) que es invariante bajo toda simetría del espacio, es decir, bajo toda biyección del conjunto finito.
Ahora bien, parece natural pensar que el buen grupo de simetrías de un espacio de Hilbert es el grupo de los unitarios. Entonces, asumiendo que vale la pena considerar matrices aleatorias, y asumiendo que vale la pena considerar medidas de probabilidad que sean lo más “uniformes” posibles, es natural considerar conjuntos unitarios invariantes.
qmecanico
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