¿Qué es "una formulación covariante general de la mecánica newtoniana"?

Estoy un poco confundido: leí que hay formulaciones covariantes generales de la mecánica newtoniana (por ejemplo , aquí ). Siempre pense:

1) Una teoría es covariante con respecto a un grupo de transformaciones si se conserva la forma de esas ecuaciones.

2) la covarianza general significa que no solo las transformaciones definidas por velocidades arbitrarias entre diferentes sistemas, sino también las transformaciones definidas por aceleraciones arbitrarias conservan la forma de tales ecuaciones.

Pero en ese caso, el principio de la relatividad general (la forma de todas las leyes físicas debe conservarse bajo transformaciones de coordenadas arbitrarias) no sería exclusivo de la relatividad general. ¿Dónde está mi error en el razonamiento, o dicho de otra manera qué término entiendo mal?

Saludos y gracias de antemano!

Nada te impide hacer covariante la mecánica newtoniana. Lo hacemos en cristalografía todo el tiempo cuando tratamos con bases no ortogonales y sus duales. ¿Se compra mucho para la comprensión? Si lo hace, no soy consciente de ello. Las transformaciones generales de coordenadas son manejadas por el formalismo de Lagrange, si es necesario, pero una transformación arbitraria de coordenadas es de tan poca utilidad en la mecánica newtoniana como lo es en GR. Los importantes son específicos del problema y simplifican la solución o resaltan sus simetrías/propiedades, lo que requiere más que la capacidad de formular una transformación general.
De hecho, el formalismo de Lagrange es el resultado de una formulación covariante general de la mecánica newtoniana.
Aunque no es exactamente lo mismo, hay una hermosa discusión de una formulación geométrica de la mecánica newtoniana de Élie Cartan en el Capítulo 12 de Misner Thorne Wheeler "Gravitation". Le horrorizará lo incómodo que es y lo natural que parecen las ecuaciones de campo de Einstein en comparación

Respuestas (3)

El desarrollo de la relatividad general ha llevado a muchos conceptos erróneos sobre la importancia de la covarianza general. Resulta que la covarianza general es una manifestación de la elección de representar una teoría en términos de una variedad diferenciable subyacente.

Básicamente, si define una teoría en términos de las estructuras geométricas nativas de una variedad diferenciable (es decir, espacios tangentes, campos tensoriales, conexiones, derivadas de Lie y todo ese jazz), la teoría resultante será automáticamente covariante general cuando se exprese en coordenadas. (garantizado por el atlas del colector).

Resulta que la mayoría de las teorías físicas pueden expresarse en este lenguaje (p. ej., variedades simplécticas en el caso de la mecánica hamiltoniana) y, por lo tanto, pueden presentarse en una forma generalmente covariante.

Lo que resulta ser especial (?) sobre la teoría general de la relatividad es que el espacio y el tiempo se combinan para formar una (tipo particular de) variedad lorentziana y que el campo tensorial métrico en la variedad está correlacionado con el material que ocupa la variedad.

En otras palabras, la covarianza general no era el mensaje central de la relatividad general; simplemente parecía que lo era porque era una novedad en ese momento, y una que no se entendía bien.

Muchas gracias por tu clara respuesta. Pero me quedan dos preguntas: 1) ¿La diferencia entre covarianza y covarianza general es que para la covarianza general el grupo de transformaciones que conserva la forma de las leyes físicas también debe incluir aceleraciones? 2) ¿El principio general de la relatividad ("Todos los sistemas de referencia son equivalentes con respecto a la formulación de las leyes fundamentales de la física") sigue siendo exclusivo de gr, ya que una formulación covariante general de la mecánica newtoniana, por ejemplo, no daría una velocidad constante de luz en todos los marcos? Atentamente
La covarianza especial de @DonkeyKong es una condición necesaria para que una ley sea invariable con respecto a un grupo de transformaciones, mientras que la covarianza general es una condición necesaria para que una ley tenga una forma invariable con respecto a un grupo (mucho más grande) de transformaciones . Tener la misma forma no significa que los marcos sean equivalentes. Podría haber, por ejemplo, un término de fuerza centrífuga en la forma general de una ley que desaparezca en los sistemas de coordenadas inerciales pero no en otros. No existe un "principio general de la relatividad". Einstein se equivocó en eso.
@PhysicsFootnotes "Lo que resulta ser especial (?) Acerca de la teoría general de la relatividad es que el espacio y el tiempo se combinan para formar una (tipo particular de) variedad lorentziana y que el campo del tensor métrico en la variedad está correlacionado con el material que ocupa el múltiple" Me tomó un minuto entender lo que querías decir. Luego me di cuenta de que describiste la flexión masiva del espacio-tiempo. Muy aseado.

Esto no es lo que yo, y diría que la mayoría de los físicos, entiendo como un tratamiento físico de lo que es la covarianza general en física. La covarianza general es que las ecuaciones se ven iguales en cualquier marco de coordenadas, lo que significa que las transformaciones pueden ser cualquier función. La única limitación es que las funciones sean diferenciables, tal vez n o infinitas veces (difeomorfismos).

La mecánica newtoniana tiene el grupo de Galileo como su definición de covarianza. Significa transformaciones a marcos inerciales únicamente. Esa no es una covarianza general en la forma en que funciona o se entiende la física.

Posiblemente se puedan definir artilugios matemáticos que permitan algo más general, pero sería una técnica matemática, no una propiedad profunda de la física. Las ecuaciones de Lagrange o Hamilton (que sí son más que artilugios pero aún no son física más nueva que la mecánica newtoniana) pueden parecer iguales si cambia las p y q a otro sistema de coordenadas, pero las ecuaciones de movimiento son diferentes en marcos no inerciales. Las fuerzas centrífugas y de Coriolis no son fuerzas reales sino que aparecen en marcos de coordenadas giratorios. Y sí, tiene covariante de relatividad (o covariante de Lorentz en relatividad especial) pero no es espacio, es espacio-tiempo 4D y una firma de +/- 2, y no 3D.

Vi el artículo de Wikipedia, y para los físicos también Landau y Lifshitz y Goldstein/etc, sobre la covarianza newtoniana y esto es consistente. Wikipedia simplemente llama al grupo de Galileo el grupo de covarianza. En física lo llamamos el grupo de simetría. En ese artículo al que se refirió OP, dice claramente covariante para relatividad especial, pero dicen 'covariante de Lorentz'. La mecánica newtoniana es igualmente 'I covariante galileana'. Por cierto, el artículo al que se refiere el OP es sobre filosofía de la ciencia, no sobre ciencia.

¿Se descubrió algo de física nueva que hace que la mecánica newtoniana sea generalmente covariante más de 200 años después de Newton?

¿O no entiendo algo de lo que intentas decir? Y si es así, ¿hace alguna diferencia en física y está representado en revistas de física arbitradas aceptadas?

Por cierto, en la relatividad general tener la covarianza general hace la diferencia. En coordenadas normales radiales, la métrica de Schwarzchild tiene una singularidad en el horizonte. En las coordenadas de Penrose o Kruskal se ve que no lo es, y de hecho puedes usarlas para entender la estructura causal de los agujeros negros. Muchas otras razones. No es en vano.

+1; Estoy seguro de que sabe esto, pero vale la pena señalarlo aquí porque vuelve a enfatizar el punto de su último párrafo: que podemos cambiar entre observadores libremente y obtener un comportamiento de horizonte no singular desde el punto de vista de un observador y no desde otro tiene un significado físico : que d t explota como d τ permanece finito significa que un objeto que cruza el horizonte tarda una eternidad según lo calculado d t por el reloj de un observador distante, mientras que es un proceso de tiempo finito perfectamente sencillo para el alma desventurada que se sumerge.
Creo que probablemente siempre necesitemos llamar a la "singularidad" de Schwarzschild en el horizonte una "singularidad coordinada" en este tipo de discusión. También un buen tl; dr para su primer párrafo: la covarianza con respecto a una clase de transformaciones obviamente muy restringida no es una covarianza "general", por definición; a menos que la clase de transformación sea muy amplia ( por ejemplo , difeomorfismo), es francamente engañoso y un mal uso de las palabras llamar a algo "generalmente covariante".
Generalmente tiende a usarse para significar eso. Es un buen punto, pero de todos modos, sí, ciertamente difeomorfismo.

Como se dice en el artículo mencionado en mi publicación .

podemos tomar cualquier teoría y reformularla para que sea covariante bajo cualquier grupo de transformaciones que elijamos; el problema no es físico, es simplemente un desafío a nuestro ingenio matemático.

Como señaló @Lewis Miller, la formulación lagrangiana de la mecánica newtoniana es covariante general, ya que las ecuaciones no cambian de forma bajo transformaciones de coordenadas arbitrarias (que también incluyen aceleraciones).

Como señaló Bob Bee: la covarianza general significa que las transformaciones pueden ser cualquier función, mientras que en la covarianza (normal) el grupo de transformaciones puede ser de cardinalidad pequeña con muchas restricciones (p. ej., solo permite marcos inerciales).

¡Gracias por tu ayuda!

Creo que sería mejor aceptar una de las respuestas aportadas en lugar de la tuya. Entiendo que más de una respuesta tiene buenos puntos, pero aun así creo que deberías elegir una de ellas.
¿Qué es "una formulación covariante general de la mecánica newtoniana"?
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