Significado de la covarianza general

Wald es un relativista de primera y, como tal, expresa el concepto de covarianza general en términos de cantidades puramente geométricas, en lugar de recurrir a la noción un tanto imprecisa de transformaciones de coordenadas. En la discusión de la pág. 57, continúa dando un ejemplo de lo que significa violar el principio de covarianza general.

En su ejemplo, supone que tiene, además de la métrica, un campo vectorial preferido$v^a$. Este campo vectorial define una dirección preferida en el espacio-tiempo y, por lo tanto, codifica una estructura geométrica adicional. Podrías pensar en$v^a$como un tipo de éter. Entonces, en esta teoría habría un sistema de coordenadas preferido en el que el vector$v^a$tiene componentes$v^\mu = (1,0,...,0)$. Por lo tanto, la teoría resultante no sería generalmente covariante.

Para llevar este ejemplo un poco más lejos, podemos considerar un campo escalar. Una acción que podrías escribir es

$$S = \frac12\int(\eta^{ab}\partial_a\phi\partial_b\phi - \alpha (v^a\partial_a\phi)^2)$$ y la ecuación de movimiento es entonces $$\eta^{ab}\partial_a\partial_b\phi - \alpha v^b\partial_b(v^a\partial_a\phi) = 0,$$ En una forma más transparente, suponga $\partial_b v^a = 0$, y deja $v^a$estar apuntando en la dirección del tiempo. Entonces esta ecuación se convierte en $$(1-\alpha)\partial_t^2\phi - \nabla^2\phi=0,$$ es decir, una ecuación de onda con una velocidad $c_s^2 = (1-\alpha)^{-1}$. Sin embargo, esta velocidad podría ser fácilmente mayor que $1$Dejando $\alpha$ser positivo, por lo que esto claramente viola la relatividad especial. La razón por la que esto sucedió es porque incluimos $v^a$, una estructura geométrica al lado de la métrica plana $\eta_{ab}$.

Entonces, en general, cualquier vector fijo o campo tensorial puede actuar como una estructura geométrica adicional. También puede hacer otras cosas como tener un operador derivado fijo$\nabla_a$, lo que significa que entonces podrá escribir símbolos de Christoffel$\Gamma^a_{bc}$explícitamente en ecuaciones.

El punto de hacer la distinción de la invariancia de coordenadas es que es un poco vacío decir que una ecuación es válida en todos los sistemas de coordenadas. Esto se debe a que si tengo una ecuación y luego cambio las coordenadas, sigo obteniendo la misma ecuación, pero en un sistema de coordenadas diferente. La forma de escribir la ecuación de forma invariante en coordenadas es identificar todas las estructuras geométricas adicionales en la teoría (es decir,$v^a$así como$\eta_{ab}$en nuestro ejemplo anterior). Si, después de hacer esto, la única estructura geométrica necesaria para escribir las ecuaciones en una covariante general fuera la métrica plana$\eta_{ab}$, decimos que la teoría es una teoría relativista especial generalmente covariante .

La covarianza general básicamente significa que puede cambiar su sistema de coordenadas arbitrariamente y expresar las leyes de la física en las nuevas coordenadas. Debido a esta libertad, la relación entre distancias de coordenadas , ángulos, etc. y distancias físicas , ángulos, etc. es variable y está expresada por la métrica.

Entonces, la declaración citada básicamente dice que no puede tomar sus coordenadas para significar nada físicamente, y las leyes de la física no deben formularse de una manera que requiera que use un sistema de coordenadas particular. Siempre tienes que traducir las coordenadas a valores físicos a través de la métrica.

Por ejemplo, no puede simplemente usar la fórmula de la distancia euclidiana$\sqrt{x^2+y^2+z^2}$para distancias entre puntos al calcular una fuerza o algo así, ya que eso solo es válido en el espacio plano en coordenadas cartesianas.

El otro lado de esto, y el significado físico más profundo, es el principio de equivalencia , que establece que la aceleración es equivalente a un campo gravitatorio. Esto se puede afirmar como diciendo que las leyes de la física no pueden "saber" nada sobre el espacio-tiempo más allá de lo que está en la métrica. Un marco de referencia acelerado y un campo gravitatorio dan la misma métrica localmente, por lo que son completamente equivalentes para todos los propósitos físicos. La métrica no conoce la diferencia, por lo que las leyes de la física no conocen la diferencia.