¿Qué es una "ecuación de movimiento" como se usa en el contexto de la ecuación geodésica?

(1) Wikipedia

(2) La ecuación

$$\frac{d^2 x^\alpha}{d\tau^2}=0$$ es la ecuación de movimiento de una partícula libre en relatividad especial. En cierto sentido, es una generalización de la primera ley de Newton. Dice que las partículas libres se mueven en línea recta (recordemos que las segundas derivadas aniquilan las líneas). Dado que en la relatividad especial los símbolos de Christoffel son trivialmente cero (en coordenadas cartesianas, por supuesto), la ecuación geodésica $$\frac{d^2x^\mu}{d\tau^2}+\Gamma^\mu_{\;\rho\sigma}\frac{dx^\rho}{d\tau}\frac{dx^\sigma}{d\tau}=0$$ se reduce a la ecuación anterior. Por el contrario, el principio de equivalencia dice que la primera ecuación se cumple precisamente en un punto a lo largo de la línea de mundo en las coordenadas apropiadas. Se puede demostrar (ver, por ejemplo, Weinberg Gravitation and Cosmology p.70) que esto implica la ecuación geodésica a lo largo del resto de la línea del mundo.