Estoy tratando de encontrar geodésicas para la métrica FRW,
Usando los símbolos de Christoffel de la Cosmología de Weinberg (Ecs. 1.1.17 - 20) en la ecuación geodésica obtengo:
También debería ser posible obtener las geodésicas encontrando los caminos que bordean el tiempo adecuado. , es decir, usando las ecuaciones de Euler-Lagrange con un Lagrangiano igual a la raíz cuadrada de la Escribí arriba:
Cuando intento esto en la ecuación EL para Obtengo la misma ecuación que la anterior. Sin embargo, cuando pruebo la ecuación EL para mi resultado no concuerda con la ecuación geodésica.
Encuentro
escribo la ecuacion EL
yo obtengo
No puedo reorganizar esto en la fórmula de la ecuación geodésica y sospechar que los dos conjuntos de ecuaciones no son equivalentes. He pasado por ambos métodos un par de veces, pero no he detectado ningún error.
¿Alguien puede decirme de dónde viene la inconsistencia (si es que realmente hay una)?
[Curiosamente, la ecuación EL se puede integrar una vez con un factor de integración de , mientras que no veo cómo hacerlo con la ecuación geodésica (no es que sea muy bueno resolviendo ecuaciones diferenciales).]
¿No creo que sus ecuaciones geodésicas sean correctas?
Esta es su métrica:
y mi programa calcula esta geodésica
etcétera.
2) Si desea calcular la geodésica con el método EL, también puede usar este lagrangiano
Creo que las ecuaciones pueden ser consistentes después de todo. Primero una solución a la ecuación EL para también satisface la ecuación geodésica:
Comenzando con la ecuación EL que tengo arriba:
definir como
por lo que la ecuación EL es
Tenga en cuenta que
A continuación, puntee la ecuación EL con :
Ahora regrese a la ecuación EL original (primera ecuación) y aplique el dentro de los paréntesis:
Moviendo todo lo que queda a un lado obtienes
que, después de dividir ambos lados por , es exactamente la ecuación geodésica de mi pregunta original.
Si desea comenzar con una solución a la ecuación geodésica y demostrar que satisface la ecuación EL, casi puede invertir los pasos. Lo único nuevo que necesita mostrar es el reverso del último paso, que implica la ecuación geodésica
everiana
qmecanico
Ollie113
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Alex
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