Divergencia generalizada del tensor en GR

No, esto no se cumple en general para los tensores de rango superior. La ecuación general para la divergencia de un tensor completamente contravariante en términos de un operador derivado de coordenadas$\partial_\mu$es

$$\nabla_\mu T^{\mu \nu_1 \dots \nu_n} = \partial_\mu T^{\mu \nu_1 \dots \nu_n} + \Gamma^\mu {}_{\mu \rho} T^{\rho \nu_1 \dots \nu_n} + \sum_{i = 1}^n \Gamma^{\nu_i} {}_{\mu \rho} T^{\mu \nu_1 \dots \rho \dots \nu_n}.$$ También tenemos el hecho de que $$\Gamma^\mu {}_{\mu \rho} = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \partial_\mu \sqrt{|g|}.$$ De este modo, $$\nabla_\mu T^{\mu \nu_1 \dots \nu_n} = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \partial_\mu \left( \sqrt{|g|} T^{\mu \nu_1 \dots \nu_n} \right) + \sum_{i = 1}^n \Gamma^{\nu_i} {}_{\mu \rho} T^{\mu \nu_1 \dots \rho \dots \nu_n}.$$ Esta última suma no se anula para un tensor general. Sin embargo, algunos o todos los términos pueden desaparecer para tensores con una estructura de simetría particular. En particular, si$T^{\mu \nu_1 \dots \nu_n}$es antisimétrica en todos sus índices, entonces cualquier contracción de dos de sus índices con los índices simétricos de los símbolos de Christoffel desaparece automáticamente; y así toda la suma se va.

Para obtener referencias sobre cómo tomar la derivada covariante de un tensor general, consulte el Capítulo 5 de A First Course in General Relativity de Schutz para un enfoque basado en coordenadas, o el Capítulo 3 de Wald's General Relativity para un enfoque más general.