¿Qué es un 'punto de inflexión' en WKB y por qué falla en ese punto?

Un punto de inflexión clásico es un punto en el que la energía total del sistema$E$es igual a la energía potencial$V.$Más allá de este punto, es decir, para$E<V$el potencial es mayor que la energía total, estos casos los denotamos como regiones clásicamente prohibidas , porque desde un punto de vista puramente clásico, el sistema tiene 0 posibilidades de estar en un estado donde su energía potencial es mayor que su energía total o en otro palabras que tienen una energía cinética negativa$E - V < 0.$

Para ver por qué en este punto falla la aproximación WKB, recuerde la forma independiente del tiempo de la ecuación de Schrödinger (trabajemos en 1D para simplificar):

$$\begin{align*} \frac{d^2\psi }{dx^2}+k^2(x)\psi(x)&= 0 \\ k^2(x) = \frac{2m}{\hbar^2}(E-V(x))&=\frac{p^2(x)}{\hbar^2} \end{align*}$$ Con $k(x)$el vector de onda, y $p(x)$es el momento clásico local correspondiente a una descomposición clásica de la energía $E.$Ahora es suficiente mirar las soluciones WKB de orden 0, que son ondas planas con amplitudes independientes de $x$, como sigue:

$$\psi(x)=Ae^{\pm iu(x)}$$ Que si sustituyes en TISE y asumes una variación lenta $k(x)$entonces uno puede despreciar la segunda derivada de $u(x)$y resolver para $u(x)$, que entonces es simplemente la integral de acción clásica: $$s(x)=u(x)\hbar = \pm \int^x p(x')dx'$$ Esto nos lleva a nuestra solución WKB de orden 0:

$$\psi_0 (x) = \exp \left[\pm i \int^x k(x')dx'\right]$$

Ahora necesitamos verificar la validez de esta solución, para esto insertamos$\psi_0(x)$volvamos a nuestra primera ecuación TISE y obtengamos:

$$\frac{d^2\psi_0}{dx^2}+ \left[k^2(x) \mp i\frac{dk}{dx}\right] \psi_0(x)=0$$ Del resultado anterior, ahora es claro que para $\psi_0(x)$ser una solución rigurosa (es decir, corresponder a una solución válida de nuestro TISE original), entonces:

$$\begin{align*} \left\lvert \frac{dk}{dx} \right\rvert &<< k^2(x) \\ \left\lvert \frac{1}{k}\frac{dk}{dx} \right\rvert &<< k(x) \end{align*}$$ Una condición que nunca se cumple en el punto de inflexión ( $k \to 0$) porque $1/k$diverge Esta condición de validez se propaga a través de soluciones de orden superior de WKB, por ejemplo, la solución de WKB de primer orden es del tipo:

$$\psi_1(x) = \frac{C}{\sqrt{k(x)}}\exp\left[\pm i \int^x k(x')dx'\right]$$ De nuevo en el punto de inflexión clásico, cuando $k \to 0$vemos que la amplitud explota y la función de onda $\psi_1(x)$ya no es válido (para obtener más información sobre este asunto, encontrará respuestas útiles aquí )

Ahora, cuando intenta aplicar WKB, la intuición es que, en las regiones clásicamente permitidas ($E>V$), se utilizan las soluciones trigonométricas WKB y en las regiones clásicamente prohibidas se toman soluciones exponencialmente decrecientes (y no solo cero, porque la mecánica cuántica todavía permite una probabilidad distinta de cero para que el sistema se encuentre en una región clásicamente prohibida), todas ellas lo cual, para que la aproximación siga siendo físicamente sensible.