¿Qué es un conjunto? (¿Es posible definir un conjunto?)

Recientemente he estado estudiando la teoría de conjuntos de algunos libros de texto introductorios (como "Más precisamente" de Steinhart o "Conjuntos, lógica, computación" de Open Logic Project). Me interesa la noción de conjunto.

En los libros de texto de teoría de conjuntos, la respuesta suele ser "un conjunto es una colección de objetos" o algo por el estilo. El problema es con el conjunto vacío. Seguramente es un conjunto, pero no tiene miembros, es decir, no es una colección de objetos. Así que decir que un conjunto es una colección de objetos debe ser simplemente una forma abreviada de explicar la noción de un conjunto al no especialista, pero no puede ser técnicamente preciso. Pero, ¿cuál es la definición más técnica de un conjunto? Quizás, por supuesto, los conjuntos simplemente se asumen como primitivos dentro de la teoría y, por lo tanto, no se pueden definir. En ese caso, la pregunta puede formularse de manera más amplia: ¿ qué es un conjunto ?

¿Quizás alguien me puede dirigir hacia la literatura relevante sobre este tema?

¿Podemos definirlo así: "Un conjunto es una colección que ayuda al pensamiento racional. La colección puede ser cualquier cosa, incluidos los objetos". ? ¿Pueden los usos -- 'pensamiento racional' y 'cualquier cosa' negar el pase de entrada al conjunto nulo?
El problema con "un conjunto es una colección de objetos" no es el conjunto vacío, es que "colección" es un sinónimo, por lo que se lee como definición, esto es circular. El significado de "conjunto" o "colección" está más bien fijado por las manipulaciones que podemos hacer con ellos y las oraciones en las que podemos usarlos, y el esbozo se destila en axiomas de teoría (s) de conjuntos. Entonces, la respuesta es que no hay una definición de "conjunto", no puede haber una definición de "conjunto", y "conjunto" es lo que describen los axiomas, o sus contrapartes intuitivas. Alternativamente, uno puede elegir nociones primitivas alternativas y definir "conjunto" en esos términos.
Tal vez ayudaría comparar conjuntos con números y preguntar si el cero es realmente un número. Si dijera que tengo un número de monedas en mi bolsillo, y usted preguntara, "¿Cuántas?" y dije que no tengo monedas, pero el cero es un número, pensarías con razón que me estaba metiendo contigo. Pero por lo menos, es conveniente tratar el cero como un número, y es conveniente tratar el conjunto vacío como un conjunto. Los conjuntos y números se pueden construir recursivamente, y las operaciones en ellos requieren que { } y 0 califiquen. Tal vez podría pensar en ellos como casos degenerados.
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Un "conjunto" es un grupo de juegos en tenis.

Respuestas (4)

Podemos comparar el tema de la definición de conjunto con la Geometría.

Los Elementos de Euclides se abre con cinco definiciones :

  1. Un punto es lo que no tiene parte.

  2. Una línea es una longitud sin anchura. [...]

  3. Una superficie es lo que tiene sólo largo y ancho.

Pueden ser de alguna ayuda para comprender los conceptos básicos, pero difícilmente pueden concebirse como definiciones reales.

En 1899, David Hilbert publicó su innovador libro sobre la axiomatización de la geometría: Grundlagen der Geometrie , basado en conferencias anteriores. Estos son los primeros párrafos (página 3):

Consideremos tres sistemas distintos de cosas. A las cosas que componen el primer sistema, las llamaremos puntos y las designaremos con las letras A, B, C,... ; las de la segunda, las llamaremos rectas y las designaremos con las letras a, b, c,... ; ya los del tercer sistema, los llamaremos planos y los designaremos con las letras griegas alfa, beta, gamma . [...]

Pensamos que estos puntos, líneas rectas y planos tienen ciertas relaciones mutuas, que indicamos por medio de palabras tales como "están situados", "entre", "paralelo", "congruente", "continuo", etc. la descripción completa y exacta de estas relaciones sigue como consecuencia de los axiomas de la geometría .

El trabajo de Hilbert sobre los fundamentos de las matemáticas y la lógica se ha llamado Formalismo y sigue siendo la visión filosófica predominante entre los matemáticos "trabajadores".

Para conjunto, podemos considerar la definición madura de conjunto de Georg Cantor en " Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre ", Mathematische Annalen (1895-97, Engl.transl.1915 - Dover reprint), §1, página 85:

Por un "agregado" ( Menge ) debemos entender cualquier colección en un todo ( Zusammenfassung su einem Ganzen ) M de objetos definidos y separados m de nuestra intuición o nuestro pensamiento. Estos objetos se denominan "elementos" de M .

Compárelo con un libro de texto moderno sobre teoría de conjuntos: Nicolas Bourbaki, Elements of Mathematics: Theory of sets (1968 - 1st French ed: 1939-57), página 65:

Desde un punto de vista "ingenuo", muchas entidades matemáticas pueden considerarse como colecciones o "conjuntos" de objetos. No buscamos formalizar esta noción, y en la interpretación formalista de lo que sigue, la palabra "conjunto" se debe considerar estrictamente como sinónimo de "término". En particular, frases como "sea $X$ un conjunto" son, en principio, bastante superfluas, ya que cada letra es un término. Tales frases se introducen únicamente para ayudar a la interpretación intuitiva del texto.

Así, desde una perspectiva matemática, los puntos y las líneas son "cosas" que satisfacen los axiomas de la geometría ; del mismo modo, los conjuntos son "objetos" que satisfacen los axiomas de la teoría de conjuntos .

Por supuesto, también si una definición "dentro" de la teoría de conjuntos de la noción de conjunto es imposible, todavía podemos tener intentos de dilucidar la noción de conjunto desde una perspectiva filosófica.

Véase, por ejemplo, Paul Benacerraf & Hilary Putnam (editores), Philosophy of Mathematics: Selected Readings , (2nd ed: 1983), Part IV. El concepto de conjunto .

Los axiomas de Zermelo-Fraenkel proporcionan una definición de trabajo actual de Set , generalmente con el Axioma de Elección.

Hay mucho debate sobre si estos axiomas capturan todo lo que hay que decir sobre los conjuntos (tanto específicos de la teoría de conjuntos como, en general, sobre la integridad matemática), y sobre si algunos axiomas son necesarios o correctos, pero generalmente se aceptan las pruebas que usan ZFC.

Hay sistemas teóricos establecidos más allá de ZF y ZFC como NBG , ¿no?

Rechazaría la noción de que un conjunto vacío no puede ser una colección de objetos porque no tiene elementos. Es como decir que una cómoda deja de ser una cómoda si no tiene nada dentro. Aparte de esto, es realmente necesario para nosotros, técnica y formalmente, tener la noción de un conjunto vacío, porque:

  1. Queremos que la intersección de dos conjuntos sea siempre un conjunto. Para cualesquiera dos conjuntos A, B, nos gustaría que su intersección A ⋂ B también fuera un conjunto. Para que esto sea cierto incluso cuando A, B no tienen elementos en común, debemos considerar un conjunto sin elementos, un conjunto vacío, como un conjunto válido.

  2. Queremos usar propiedades hipotéticas para definir conjuntos. Por ejemplo, estoy acostumbrado a pensar que el "conjunto solución" de una ecuación es el conjunto de todos los valores que hacen que la ecuación sea verdadera. Si pido todas las soluciones de números reales para la ecuación x = x + 1, no hay números que hagan que esta ecuación sea verdadera. Pero todavía tenemos que considerar el conjunto {x: p(x) = q(x)} como un conjunto, incluso si sucede que p(x) =/= q(x) para cada x. En general, el esquema del axioma de comprensión significa que, dado cualquier conjunto A, debería poder exhibir un subconjunto B ⊆ A, donde B es el conjunto de todos los elementos de A con una determinada propiedad. Necesito que B sea un conjunto incluso si no hay elementos de A con esa propiedad.

"Es como decir que una cómoda deja de ser una cómoda si no hay nada dentro". Por otro lado, como objeto matemático, el conjunto vacío no puede cambiar y de repente tener elementos en él. Está necesariamente vacío. Tomando la notación de inserción vacía y comparándola con otro elemento, decide el caso de otra manera, no del todo, ya que la notación vacía no es el conjunto vacío en sí mismo, ¿verdad?
@KristianBerry No sé qué sería extraño en el hecho de que, una vez que agrega elementos al conjunto vacío, ya no es el conjunto vacío. Cada conjunto se convierte en un conjunto diferente una vez que le agregas más elementos. Esta no es una propiedad única del conjunto vacío.
Sí, pero en realidad no estás insertando elementos en él. En el mejor de los casos, si lo fueras, como cuando escribes {} y luego {{}}, solo estarías poniendo el conjunto vacío dentro de sí mismo. Pero de lo contrario, según el platonismo de la teoría de conjuntos, no, el conjunto vacío en realidad nunca cambia, por lo tanto, nunca se inserta nada en él.
"El conjunto vacío en realidad nunca cambia" OK, y tampoco lo hace ningún otro conjunto, por la misma lógica. Cada conjunto está completamente especificado por sus elementos. ¿Cual es tu punto?
Mi punto es que la descripción en lenguaje natural del conjunto vacío es rara. Tal vez no sea falso, pero sí extraño y tal vez absurdo... Estoy reafirmando la intuición detrás de la pregunta que estamos respondiendo arriba.
@KristianBerry Estoy de acuerdo hasta cierto punto en que "la descripción en lenguaje natural del conjunto vacío es extraña" y contradictoria para un principiante. Pero en la medida en que estoy de acuerdo, considero que es más un artefacto de nuestro lenguaje natural que la rareza intrínseca del conjunto vacío.
@KristianBerry Me gusta, imagina una historia alternativa de las matemáticas en la que, en lugar de la palabra "conjunto", terminamos usando el término "receptáculo conceptual" para referirnos al mismo concepto (lo que sería gracioso, por cierto: imagina si la gente de matemáticas tuviera que use una jerga como "Euclides demostró que el receptáculo conceptual de todos los números primos es infinito" ). Si en cambio hubiéramos llamado a los "conjuntos" "recipientes conceptuales", a nadie le sorprendería que los "recipientes conceptuales" pudieran estar vacíos. Un "conjunto vacío" en su mayoría suena raro porque decidimos llamar a estas cosas "conjuntos" en primer lugar.
;) No es necesariamente más divertido que hablar de ratones en la teoría de conjuntos, pero estoy totalmente de acuerdo en lo contrario. (Por cierto, todavía no tengo idea de qué son los ratones).

Un conjunto es algo que puede tener elementos. Ahora bien, el conjunto supuestamente vacío es necesariamente vacío, es decir, nada puede ser un elemento de él, pues es un objeto eterno, abstracto (supongamos), y estos no cambian. Como el conjunto vacío no puede ser un conjunto de nada, solo puede ser un conjunto de nada. Pero si no puede ser un conjunto de nada, ¿es realmente un conjunto? Yo diría que no, no lo es. Por ejemplo, si tengo un cubo que automáticamente empuja objetos fuera de sí mismo, cada vez que intento poner un objeto en él, ¿sería correcto llamar a este cubo caja, o más bien cubo vicioso? Quizás una apreciación subconsciente de este detalle es lo que llevó a Peano a comenzar originalmente los ordinales naturales desde 1, no desde 0.

(Tangencialmente, incluso diría que 0 no está vacío, sino que se contiene a sí mismo, y no está contenido por el resto del universo de conjuntos, sino que está "en cuarentena" debido a los extraños resultados aritméticos que provienen de varias expresiones no bien fundadas que involucran Pero eso es una tangente.)

¿El conjunto vacío no se contiene a sí mismo? Intuitivamente, por lo tanto, ¿una subregión de un volumen no contiene una subregión más pequeña desprovista de ella misma?
El conjunto vacío no se contiene a sí mismo. { } no es lo mismo que { ∅ }. De hecho, con los ordinales de von Neumann, { } es el número 0 y { ∅ } es el número 1.
El cero de Zermelo (o de von Neumann) no se contiene a sí mismo, pero si hay un cero real aparte del de ellos, tal vez sí se contiene ... Y ni siquiera hemos llegado al cero surrealista de Conway, que aunque sigue vacío, pero de una manera surrealista.
¿Qué es un conjunto? (¿Es posible definir un conjunto?)
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