¿Es el axioma del infinito verdaderamente un axioma?

Espero poder comunicar mis inquietudes de manera efectiva, para poder llegar a un entendimiento sobre un tema que vengo reflexionando e investigando intensamente desde hace unos días. Estoy pensando en el infinito real en matemáticas, específicamente en la teoría de conjuntos con respecto al axioma del infinito, y el conjunto de números naturales como un infinito completo.

Entiendo que no habrá respuestas a esta publicación que resuelvan la pregunta de si teóricamente existe o no un infinito real, pero espero tener respuestas que despierten una idea en mi mente.

Preguntas::

  1. ¿Es el axioma del infinito verdaderamente un axioma?

Lo que quiero decir es que los axiomas generalmente se toman como verdades evidentes que no necesitan prueba, pero no veo cómo el axioma de que existe un conjunto infinito real es verdaderamente evidente. Parece que fue creado únicamente para permitir la posibilidad de conjuntos infinitos, independientemente de cuán evidente sea o no, lo que parece inconsistente con la forma en que se supone que deben usarse los axiomas.

  1. ¿Hay razones plausibles para creer en la existencia teórica de un infinito completo?

Creo que teóricamente existe un conjunto infinito real, como el conjunto de números naturales. No veo nada intrínsecamente erróneo o ambiguo con la definición del conjunto de los números naturales, o con el conjunto inductivo usado en el axioma del conjunto infinito. Además, también creo que si se define un conjunto, todos los elementos que satisfacen la definición o la propiedad de ese conjunto ya existen en ese conjunto, aunque no podamos enumerarlos a todos incluso en una cantidad infinita de tiempo. En consecuencia, todos los números naturales están en el conjunto que los contiene, lo que significa que este conjunto es un infinito completo. De alguna manera, encuentro plausible tener una colección de infinitos objetos dentro de una colección, pero tengo curiosidad por saber si alguien ha encontrado argumentos razonables para reforzar su confianza de que aceptar este axioma no es solo un acto de fe,

Espero que esta pregunta sea de naturaleza lo suficientemente filosófica, o al menos tenga el potencial de provocar una discusión filosófica.

Gracias a todos de antemano por cualquier comentario.

Que el axioma del infinito no es evidente por sí mismo fue una de las críticas de Russell, quien trató de derivar todas las matemáticas de las "leyes del pensamiento" en Principia. Sin embargo, la idea de que los axiomas se supone que son evidentes por sí mismos se abandonó hace mucho tiempo, se espera que sean fructíferos y útiles para organizar el cuerpo de teoría bajo consideración. De manera similar, la "existencia teórica" ​​del infinito completo no es una cuestión de creencia sino de practicidad. Dada la forma en que se practicaban las matemáticas, era racional rechazarlas antes de Cantor, como lo es aceptarlas ahora.
Probablemente te interese Defending the Axioms de Penelope Maddy. Aquí hay una pregunta de relación en math.SE. Aquí está Russell hablando del axioma del infinito.
Debe saber, si está interesado en la teoría de conjuntos o los fundamentos matemáticos en general, que ZF menos el axioma del infinito es tan fuerte como la aritmética de Peano. Ninguna de esas teorías puede decir nada sobre los números infinitos. Entonces, si cree que existe el conjunto de números naturales (como dice en la pregunta), entonces no puede llegar allí formalmente con ZF menos infinito solo. ¿No es esa razón filosófica suficiente para defender el axioma?
Maddy's Believing the Axioms está disponible gratuitamente, vea también ¿Cómo funciona el infinito real (de números o espacio)? y referencias allí.
"los axiomas generalmente se toman como verdades evidentes que no necesitan prueba". NO: se asumen como "puntos de partida" que acordamos sin pruebas.
Una parte "enorme" de las matemáticas trata con el infinito ; por lo tanto, necesitamos alguna suposición con respecto a la existencia de una colección infinita "inicial".
El apoyo racional más fuerte a la inexistencia de una "cantidad" finita de números está en la intuición muy fundamental sobre la posibilidad ilimitada de iterar la operación básica de +1. Considere el juego muy simple de preguntarle a un niño: "Por favor, piense en el número más grande que pueda imaginar... ¿Listo? Ahora súmele uno". Pero puedes considerar el ultrafinitismo : parece que no hay nada intrínsecamente "irracional" o inconsistente en él.
1: Su noción de axioma parece estar desactualizada. Hoy, elegimos nuestros axiomas por varias razones. Puedes hacer más cosas con el Axioma del Infinito, por lo que la mayoría de los matemáticos lo tienen en cuenta. 2: Su noción de existencia teórica requiere elaboración.
@Conifold Bueno, maldita sea. He estado pensando en el infinito real y el contenido del axioma sin siquiera cuestionar si mi comprensión de lo que realmente es un axioma es legítima. ¡Gracias!
@Lukas Estoy de acuerdo con tu primer punto. Mencioné la existencia teórica para evitar un malentendido de que estoy preguntando si existe o no un infinito real en el mundo físico. En particular quería hablar de objetos matemáticos en la medida en que son lógicamente posibles de definir en un sistema dado y no contradicen otras cosas. Admito que probablemente no debería haber usado la palabra "existencia".
@BenedictVoltaire Gracias por la aclaración. Lógicamente posible tiene sentido para mí :)
Pregunta muy interesante! Lucho con el "infinito efectivo" de forma regular en el contexto de la intratabilidad computacional. Encuentro útil la idea de juegos infinitos, como el problema del ángel de Conway . Desde el punto de vista de la CGT, parece ser más una cuestión práctica que teórica, que se relaciona con el punto de @Conifold.
1) El axioma del infinito es verdaderamente un axioma de las matemáticas, porque es una verdad evidente. (Hay algunas perversiones modernas de las matemáticas que permiten todas las tonterías como axiomas, al igual que algunas perversiones modernas del arte permiten la mierda en el escenario). Es evidente por la acción más fundamental en la que se basan las matemáticas, a saber, contar , que por cada paso alcanzado hay otro paso posible. Sin embargo, hay algunas disposiciones a observar. A) Esta declaración se refiere a las matemáticas ideales, es decir, matemáticas que no están restringidas por restricciones físicas. Evidentemente no puedes
En mi nivel ingenuo, diría que el 'conjunto infinito' simplemente define un límite y que no existe tal cosa como un conjunto infinito real. Pero hay tecnicismos.

Respuestas (4)

¿Es el axioma del infinito verdaderamente un axioma?

Sí, es un axioma de la teoría de conjuntos.

Pero en matemáticas un axioma de una teoría no tiene por qué ser plausible según nuestra intuición cotidiana. El único requisito que tiene que satisfacer: El axioma no contradice los otros axiomas de la teoría.

Por supuesto, los axiomas no deben elegirse arbitrariamente. Deben servir como base de una teoría sólida. Los axiomas de Cantor sobre la existencia de conjuntos transfinitos permiten extrapolar la suma y la multiplicación a conjuntos infinitos y distinguir entre conjuntos infinitos con cardinalidades diferentes.

En mi opinión, exigir la plausibilidad de un axioma es una reliquia de un tipo de filosofía que se limita a los límites de nuestra intuición cotidiana.

¿Hay razones plausibles para creer en la existencia teórica de un infinito completo?

¿Qué quiere decir con el término "existencia teórica"?

Por un lado, un objeto matemático "existe" tan pronto como lo hemos introducido, es decir, lo hemos inventado. Nunca existe en el mundo físico. Por otro lado, un objeto matemático puede ser una herramienta útil para describir fenómenos en el mundo físico. Pero incluso entonces, el objeto matemático es un modelo, no es parte del mundo físico.

Como se indicó en respuesta a su primera pregunta, considero que los conjuntos infinitos son una invención útil, incluso ingeniosa, dentro del dominio de las matemáticas. Además, cada teoría física, que se apoya en el cálculo, argumenta con el conjunto de los números reales y complejos.

Una muy buena respuesta. Y lo que quise decir con existencia teórica es como usted describió la existencia de un objeto matemático; existe, porque lo definimos. Es teórico, porque no existe en el mundo físico, sino en el reino de la razón pura y de las ideas.

La otra respuesta ha cubierto los aspectos formales. Argumentaré que con el modelo mental correcto, el axioma del infinito es 'evidente por sí mismo'.

(Uso comillas de miedo, porque creo que la frase 'evidente' es simplemente un intensificador en lugar de algo significativo)

La teoría de conjuntos, tal como se aplica a los fundamentos, no se trata de 'reunir' objetos juntos, se trata de hacer lógica . Esto se manifiesta más fuertemente al observar los axiomas de extensiones y comprensión, junto con la construcción de la tercera viñeta.

  • S y T son el mismo conjunto si y solo si x∈S se cumple precisamente cuando x∈T se cumple
  • Si Φ es cualquier proposición, existe un conjunto S Φ con la propiedad de que x satisface Φ si y solo si x∈S Φ
  • Si S es un conjunto, entonces x∈S es una proposición que podemos preguntar si x satisface

Por lo tanto, las nociones de conjunto y proposición son solo formas diferentes de hablar sobre la misma cosa.

(aparte: esta correspondencia está algo estropeada por el hecho de que la comprensión sin restricciones conduce a paradojas, pero incluso eso es paralelo a los problemas que tiene la lógica con la paradoja del mentiroso. Pero tanto la teoría de conjuntos como la lógica se han desarrollado para lidiar con estas fallas)

Por lo tanto, el mismo hecho de que uno encuentre que "x es un número natural" es una proposición significativa que se le puede pedir a un objeto hace evidente que hay un conjunto correspondiente, y llamamos a ese conjunto el conjunto de los números naturales.

Puede que le interese ver la teoría de tipos como una variación del tema que tiende a desarrollarse más en la línea de la lógica formal.

No estoy del todo convencido de que la teoría de conjuntos deba considerarse una subdisciplina de la lógica. Tome conceptos típicos de la teoría de conjuntos, por ejemplo, el conjunto de potencia o la función: ¿Estos conceptos tienen términos lógicos puros como su contraparte?
@JoWehler: Sí; en la formulación moderna, ese es básicamente el significado de "orden superior" en "lógica de orden superior". Por ejemplo, en lógica de segundo orden podemos considerar variables de relación, y el predicado en R dado por "∀x: si x satisface R, entonces x es un número natural" es el predicado correspondiente al conjunto potencia de los números naturales.
¿Cómo se expresa el conjunto potencia de N, es decir, el conjunto de todos los subconjuntos, mediante términos lógicos puros?
@JoWehler: Precisamente por el predicado que di en mi publicación anterior. En el diccionario conjunto-predicado, "S es un subconjunto de T" significa "∀x: x∈S implica x∈T". La traducción a través del diccionario de predicados de conjunto da "∀x : P(x) implica Q(x)". Si fija Q (por ejemplo, para que sea "Q(x) := x es un número natural") esa fórmula es un predicado en la variable P. Los P que satisfacen este predicado son precisamente aquellos predicados que corresponden a los subconjuntos de N .

Formalmente, el axioma del infinito en la teoría de conjuntos estándar (ZFC) es el siguiente:

Hay un conjunto I tal que contiene el conjunto vacío, y que siempre que contiene un conjunto x , también contiene el conjunto {x} .

Esto es afirmar la existencia de un conjunto potencialmente infinito, y no completo ; está diciendo por ejemplo, existe el conjunto:

0, 1, 2, 3...

y no

0, 1, 2, 3 ... omega

Donde omega es la culminación de lo anterior.

Que esto es así, lo demuestra la adopción directa de este axioma tanto en la teoría de conjuntos intuicionista como en la constructiva, donde la noción de infinito potencial se adhiere más estrictamente.

Incluso en el ZFC estándar hay cierta inquietud sobre el uso de infinitos completos, y esto a menudo se señala resaltando el axioma de elección en los libros de texto donde esta noción es más prominente; el axioma establece que puedo hacer una infinidad completa de elecciones, y no solo una finita ; esto no se consideró tan "evidente" como los otros axiomas.

En realidad, este axioma de manera indirecta fue la causa de una de las 'bromas' de Feynman a sus amigos matemáticos donde les señalaba que uno de sus teoremas que les entusiasmaba (la paradoja de Banach-Tarski) no podía ser cierto. , lo atribuyó a su uso de la divisibilidad infinita, diciendo que esto era físicamente imposible; de hecho, fue más estricto, diciendo que se puede hacer un gran número de cortes pero no uno arbitrariamente alto, y mucho menos una infinidad completa de cortes.

Matemáticamente hablando, es una forma de ultrafinitismo, como por ejemplo escribió el matemático ruso Esenin-Volpin .

Entiendo tu argumento. Pero si el conjunto I en el axioma es o no un infinito completo o potencial, ¿es una interpretación del axioma? He leído que algunos autores escriben en algunos libros de teoría de conjuntos y análisis real después de haber establecido el axioma del infinito, que el axioma dice que existe al menos un conjunto infinito, a saber, el conjunto N de números naturales, y no creo que la mayoría de los matemáticos lo harían. piensa que N no es un infinito completo. Entonces, supongo que mi pregunta es si los matemáticos asumen la existencia de un conjunto infinito completo, ¿dirían que el axioma del infinito encapsula esta suposición?
Otra pregunta: incluso si N es un conjunto potencialmente infinito cuya existencia depende del axioma, ¿tendrían los matemáticos que demostrar que, de hecho, N es un conjunto infinito real? No creo que sea posible para ellos hacer eso, a menos que ya supongan que tales conjuntos existen, lo que exigiría que tengan un axioma como el de un conjunto infinito. Gracias por su paciencia con mis consultas.
Bueno, como señalé, hay una distinción entre 1,2,3... y 1,2,3,... omega; y es la existencia de la primera la que se afirma, no la segunda; los libros de texto de matemáticas no se caracterizan por ser filosóficos, están para enseñar técnica y para eso están en el currículo universitario; Supongo que adoptan el punto de vista práctico de que antes de aprender a cuestionar algo, uno debe aprender algo; Recuerdo estar desconcertado por qué seguían refiriéndose al axioma de elección como controvertido sin explicar por qué.
¡Después de todo, hay mucha técnica para enseñar! Por supuesto, las interpretaciones son importantes, pero señalaría el hecho de que este axioma es el mismo en la teoría de conjuntos estándar y en la intuicionista que valida lo que he escrito. Lo importante a notar es que no tienden a distinguir entre el infinito potencial y el real, el conjunto N de números naturales es un nombre para una secuencia potencialmente infinita.
Claro, ampliaría un poco lo que dijiste y diría que asumen por decreto la existencia de un conjunto real, potencialmente infinito; a partir de los otros axiomas no pudieron probar tal cosa.
@Mozibur Ullah: Tienes razón. Hay una distinción entre 1,2,3... y 1,2,3,... omega. El axioma de infinito solo afirma el primer conjunto. Pero los teóricos de conjuntos afirman que el primer conjunto es omega y que tiene elementos omega = aleph_0. Esa es la fuente de la gran confusión.
@heinrich: No todos los teóricos de conjuntos piensan así, esa es la fuente de la gran confusión.

Pero ¿Dónde existe? Sugiero que, como por ejemplo la identidad, la causa y el efecto y los círculos perfectos, existe solo en nuestras mentes y estructuras conceptuales. Tenemos una profunda intuición de que nuestro 'yo' es real y usamos el concepto como tal, de una manera que lo categoriza como real. Del mismo modo infinito. Pero eso es todo es real, una categoría conceptual.

¿Es el axioma del infinito verdaderamente un axioma?
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