El axioma de elección (AoC) en la teoría de conjuntos da lugar a teoremas controvertidos y contrarios a la intuición. (Ejemplos: paradoja de Banach-Tarski y existencia de conjuntos no medibles ).
Conozco algunos de los teoremas que dependen de AoC: todos los espacios vectoriales tienen una base de Hamel, todos los campos tienen un cierre algebraico, cada conjunto puede estar bien ordenado.
Mi pregunta es, ¿por qué AoC generalmente se acepta/utiliza, en lugar de rechazarse/excluirse?
Los resultados que dependen de AoC que he encontrado no parecen "verdades necesarias". Si los axiomas de la teoría de conjuntos no pudieran demostrar que 2 + 2 = 4, creo que todos estaríamos de acuerdo en que fueron insuficientes para captar la esencia de la verdad matemática; pero si no lograron probar que los espacios vectoriales de dimensiones arbitrarias deben tener una base de Hamel... eso no parece violar mi intuición.
Por otro lado, los "problemas" que surgen debido a AoC (como conjuntos no medibles) requieren agregar mucho bagaje y cuidado extremo para domesticar adecuadamente (al menos en la teoría de la medida, donde para asignar tamaños a conjuntos, uno tiene que definir las álgebras sigma y formular toda la teoría en torno a ellas). Si rechazáramos AoC, entonces la paradoja de Banach-Tarski no surgiría y no tendríamos que preocuparnos por las álgebras sigma porque, en primer lugar, no podríamos construir conjuntos no medibles. ¿Y solo estaríamos perdiendo algunos resultados que no parecen necesariamente o intuitivamente ciertos? Tengo curiosidad por escuchar el otro lado de este argumento.
Hay muchos escritos a favor y en contra de AC desde un punto de vista filosófico; por ejemplo, a favor, véase Believing the axioms de Penelope Maddy .
Sin embargo, también hay cuestiones más mundanas. Creo que, sea o no ideal, un punto clave aquí es la usabilidad .
Una respuesta como esta puede parecer dudosamente apropiada en filosofía .stackexchange, pero creo que es una parte importante de la imagen, y en mi opinión, cualquier filosofía de las matemáticas que no tenga en cuenta la práctica matemática real es fundamentalmente incompleta.
Primero, creo que es más fácil reconocer un uso implícito de supuestos de mansedumbre (como "todo conjunto es medible") que reconocer un uso implícito de elección. (Esto es especialmente cierto porque hay supuestos de mansedumbre que son secretamente aplicaciones de elección, como "todo espacio vectorial tiene una base"). Lo que esto significa es que agregar AC como un axioma a ZF hace que sea sustancialmente más fácil reconocer una prueba en lenguaje natural (es decir, una prueba escrita por matemáticos humanos, en oposición a una prueba completamente formalizada) como válida (= demostrando que el principio en cuestión es en realidad una consecuencia de nuestros axiomas).
Es decir, hay una distinción entre mejorar las pruebas y mejorar los resultados . Incluso si aceptamos que la elección conduce a consecuencias indeseables más que su negación (que no estoy seguro de aceptar), esto no aborda el problema de si "probar en ZFC" es una tarea más fácil/más natural que "probar en ZF" o "probando en ZF + [propiedad de mansedumbre]".
Para ver un ejemplo concreto de cómo las teorías que implican la "domesticación" de las negaciones de AC pueden ser difíciles de usar, considere la alternativa de AC más común: la determinación y sus variantes. Por un lado, la determinación prueba que todo conjunto de reales es medible, tiene las propiedades de Baire y de conjunto perfecto, etc., aunque estas pruebas no son triviales. Por otro lado, la justificación de la determinación es sorprendentemente frágil: "cada juego tiene una estrategia ganadora" pasa por alto el hecho de que el conjunto de movimientos es fundamentalmente importante: ¡la determinación para los juegos en los ordinales contables es completamente inconsistente con ZF!
Entonces, para sacar la mansedumbre de la determinación, necesitamos dedicar un poco de trabajo a aprender a usar la determinación (que es mucho más difícil que aprender a usar la elección, en mi opinión); mientras tanto, la elección es un axioma mucho más "global", y la justificación ingenua de la elección en realidad no es engañosa en contraste con la de la determinación.
Tenga en cuenta que esta es una pregunta diferente de si AC es cierto (lo que sea que eso signifique) , pero creo que no podemos ignorar las preocupaciones pragmáticas al estudiar la práctica matemática.
Ahora, volviendo al tercer párrafo anterior en cursiva, una pregunta importante en este punto (especialmente para este sitio) es si podemos extraer de esta preocupación pragmática un argumento u observación filosófica real.
Creo que en este caso sí podemos. Cuando rechazamos la elección sobre la base de que implica la existencia de objetos "patológicos", estamos asumiendo implícitamente que los objetos matemáticos son más fundamentales que las pruebas matemáticas, y creo que esto no está justificado.
Además, cuando nos ponemos manos a la obra, la objeción a la elección que está haciendo también es significativamente pragmática, al menos hasta que hayamos dado más justificación: por ejemplo, desde una perspectiva platónica, ¿por qué el comportamiento patológico debería implicar la inexistencia?
Por lo que vale, hay un sentido preciso en el que el problema de AC no afecta las matemáticas "concretas".
El teorema de absolutismo de Shoenfield establece que cualquier enunciado Pi^1_2 verdadero en M es verdadero en N, siempre que M y N sean modelos de ZF con los mismos ordinales. Esto es un poco técnico, pero los puntos clave son:
Básicamente, cada principio matemático concreto es Pi ^ 1_2 (o, de hecho, mucho más simple).
Godel demostró que por cada modelo M de ZF existe otro modelo L^M con los mismos ordinales tal que L^M es un modelo de ZFC.
Como consecuencia (a través del teorema de completitud ), cada teorema Pi^1_2 de ZFC es un teorema de ZF, y por lo tanto, básicamente, cada principio matemático concreto que es demostrable en ZFC también es demostrable en ZF. De manera similar, la hipótesis del continuo no afecta los principios de Pi^1_2.
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