¿Qué es la transición Kosterlitz-Thouless?

El escenario Berezinskii-Kosterlitz-Thouless (BKT) es una de las transiciones más bellas que es omnipresente en los sistemas 2d (aunque también puede ocurrir en dimensiones más altas para tipos particulares de modelos) que sorprendentemente requiere efectos no perturbadores (es decir, defectos topológicos) para ser realizado Para comprender todo el alboroto (y el nobel) en torno a esta transición, tal vez un poco de contexto podría ser útil.

Hay un célebre teorema en la mecánica estadística del equilibrio, el teorema de Mermin-Wagner-Hohenberg-Coleman , que esencialmente nos dice que una simetría continua no puede romperse espontáneamente a ninguna temperatura finita en dimensiones dos o menores. Esto se debe a que los modos goldstone generados al romper una simetría continua tienen fuertes fluctuaciones en$d=1,2$que conduce a la restauración de la simetría a largas distancias (por$T>0$).

Ahora, para un superfluido o superconductor 2d, el parámetro de orden relevante es un campo escalar complejo$\psi=|\psi|e^{i\phi}$con un cambio de fase$U(1)$simetría. Inmediatamente, uno podría imaginar que la transición superconductora o de superfluidez 2d nunca ocurriría a una temperatura finita (y, por lo tanto, estos estados nunca existirían en el límite termodinámico). Se llega a la misma conclusión para el ferromagnético XY ($O(2)$espines clásicos en una red 2d) o un cristal líquido nemático 2d. Lo que Kosterlitz y Thouless demostraron fue que el teorema era cierto en el sentido de que ninguna simetría continua se rompe espontáneamente a temperatura finita, pero aún había una simetría continua .transición de fase (con una longitud de correlación divergente) a una temperatura finita en estos sistemas. Este es un descubrimiento importante ya que hasta entonces el paradigma Landau-Ginzburg utilizado para describir las transiciones de fase continuas y los fenómenos críticos siempre asociaban la ruptura espontánea de la simetría con la transición (tenga en cuenta que, sin embargo, era bastante conocido que una transición de primer orden no requería tal transición). ruptura de simetría, cf la transición regular Líquido-Gas). Más tarde, Polyakov amplió este escenario para medir teorías (con la esperanza de describir el confinamiento en QCD), lo que resultó en un trabajo muy bueno que muestra, por ejemplo, 2+1 QED "compacto" tiene un espectro vacío en el IR debido a excitaciones topológicas. ( Phys. Lett. B 59 , 1975 , Nucl. Phys. B 120, 1977 ) y la SU($N$) El modelo de Thirring tiene fermiones que se condensan con masa finita en el IR sin romper la simetría quiral de la teoría ( E. Witten, Nucl. Phys. B 145 , 1978 ). También fue ampliado por D. Nelson y B. Halperin en el contexto de la fusión 2d de sólidos cristalinos ( Phys. Rev. B 19 , 1979 ) que condujo a la predicción de una nueva fase hexática cristalina líquida.

Después de este largo preámbulo, veamos ahora de qué se trata realmente la transición. El modelo más simple que exhibe la transición BKT es el modelo XY. Considere una red 2d con vectores unitarios 2d en cada sitio. cada vector$\vec{S}_i$(en el sitio '$i$') estar en el plano está especificado por un solo ángulo$\theta_i$

$$\vec{S}_i=(\cos\theta_i,\sin\theta_i)$$ El modelo ahora está especificado por el hamiltoniano del sistema, que incluye interacciones con los vecinos más cercanos que prefieren alinearse cerca de los espines. En ausencia de un campo externo, tenemos $$\begin{align} \beta\mathcal{H}&=-\dfrac{J}{k_B T}\sum_{\langle i,j\rangle}\vec{S}_i\cdot\vec{S}_j\\ &=-\dfrac{J}{k_B T}\sum_{\langle i,j\rangle}\cos(\theta_i-\theta_j) \end{align}$$ dónde$J>0$es la constante de acoplamiento de interacción. Ahora, a bajas temperaturas, dado que las fluctuaciones en los ángulos van a ser pequeñas, a largas distancias, tomamos el límite continuo del modelo de red suponiendo que el campo angular varía lentamente. Por lo tanto escribir$\theta_i-\theta_j=a\nabla\theta(x)\cdot\hat{e}_{ij}+O(a^2)$, dónde$a\rightarrow0$es el espaciamiento de la red y$\hat{e}_{ij}$es el vector unitario a lo largo de los sitios de unión de los enlaces reticulares$i$y$j$, obtenemos $$\beta\mathcal{H}_{\mathrm{cont.}}=\dfrac{\beta J}{2}\int\mathrm{d}^2x\ |\nabla\theta|^2$$ Para pequeñas fluctuaciones ($\theta\ll 1$), el hecho de que$\theta(x)$es una variable angular es irrelevante, lo que nos permite calcular la función de correlación de dos puntos ya que la función de partición viene dada por una integral gaussiana. $$\langle|\theta(q)|^2\rangle=\dfrac{k_B T}{J\ q^2}$$ Fourier inversa transformando esto, nos da $$\begin{gather} \langle\theta(x)^2\rangle=\dfrac{k_B T}{2\pi J}\ln\left(\dfrac{L}{a}\right)\\ \langle[\theta(x)-\theta(0)]^2\rangle=\dfrac{k_B T}{2\pi J}\ln\left(\dfrac{x}{a}\right) \end{gather}$$ $L$es el tamaño del sistema (corte IR) y$a$el espaciado de la red (corte UV). Por lo tanto como$L\rightarrow\infty$,$\langle\vec{S}(x)\rangle=0$lo que implica la ausencia de un orden de largo alcance y $$\langle\vec{S}(x)\cdot\vec{S}(0)\rangle=\left(\dfrac{x}{a}\right)^{-\frac{k_BT}{2\pi J}}$$ La correlación de espín de dos puntos llega a 0 cuando$x\rightarrow\infty$denotando la ausencia de un orden de largo alcance (una vez más, esto es solo el teorema de Mermin-Wagner), aunque la descomposición es muy lenta. Es una ley de potencia dependiente de la temperatura , en lugar del decaimiento exponencial habitual (con una longitud de correlación finita) esperado para una fase desordenada. Entonces, la fase de baja temperatura del modelo XY tiene lo que se llama orden de rango cuasi largo (QLRO) con una longitud de correlación infinita ($\xi=\infty$). Como se puede demostrar que las no linealidades adicionales que provienen de la expansión del gradiente son irrelevantes a largas distancias (en el sentido de RG), uno inmediatamente se hace creer que este decaimiento de la ley de potencia persiste para todas las temperaturas. Evidentemente, esto es incorrecto, ya que el sentido común (y también las expansiones de bucle de alta temperatura del modelo de celosía) nos dirían que a altas temperaturas, la interacción es irrelevante, dejando cada espín esencialmente independiente y aleatorio, lo que lleva a descorrelaciones en unos pocos espacios de celosía.

La resolución se obtiene entonces al notar que al olvidar la naturaleza angular de$\theta(x)$, la teoría de la "onda de espín" gaussiana continua no tiene en cuenta los devanados del campo de fase angular de$0$a$2\pi$. Estos se denominan vórtices (y antivórtices), y corresponden a defectos topológicos en el$\theta(x)$campo (que entonces no está definido en el núcleo del defecto). Son configuraciones perfectamente razonables en la red cuyo límite continuo corresponde a singularidades puntuales en el campo angular. Tenga en cuenta que estas configuraciones nunca aparecen en una expansión de gradiente perturbativo y, por lo tanto, son de naturaleza no perturbativa. En el nivel continuo, el vórtice es una solución singular de la ecuación de euler-lagrange.

$$\nabla^2\theta=0\\ \oint_{\Gamma}\mathrm{d}s\cdot\nabla\theta=2\pi q$$ dónde$\Gamma$es un lazo cerrado que rodea el origen y$q$es la "carga" entera del vórtice. Esto básicamente dice que a medida que avanza una vez alrededor del origen, el campo de fase$\theta$viene de$0$a$2\pi q$(que es lo mismo que$0$para una función periódica como$q$es un número entero). Ahora, para un solo defecto de este tipo, tenemos$|\nabla\theta|=q/r$($r$siendo la coordenada radial), podemos calcular su energía para ser, $$E_q=\pi J q^2\ln\left(\dfrac{L}{a}\right)$$ que diverge logarítmicamente en el límite termodinámico. Por lo tanto, los defectos individuales nunca se excitan, pero los pares de defectos con cargas opuestas (dipolos) tienen una energía finita y pueden excitarse a una temperatura finita. Dejando de lado las interacciones por el momento, hay un argumento muy simple que agita la mano para la existencia de una transición de fase. La energía de un solo defecto libre diverge, pero en finito$T$uno debe mirar la energía libre que también incluye contribuciones entrópicas. El número de formas en que un solo defecto de tamaño$\sim a^2$se puede colocar en una zona de$L^2$es aproximadamente$(L/a)^2$. tomando el logaritmo para obtener la entropía, tenemos para la energía libre $$F=E_q-TS=(\pi J q^2-2 k_B T)\ln\left(\dfrac{L}{a}\right)$$ Como las excitaciones de carga más bajas corresponden a$q=1$, tenemos para$T>T_c=\pi J/(2 k_B)$, la energía libre se vuelve negativa, lo que significa que hay una proliferación de defectos libres en el sistema a medida que la entropía gana a la energética defectuosa. Incluir interacciones defectuosas no cambia esta imagen (incluso$T_c$sigue siendo el mismo). A$T=T_c$, se obtiene un decaimiento de ley de potencia universal (hasta correcciones logarítmicas) $$\langle\vec{S}(x)\cdot\vec{S}(0)\rangle=\left(\dfrac{x}{a}\right)^{-\eta}$$ con$\eta(T_c)=1/4$. Arriba$T_c$, tenemos una longitud de correlación finita ($\langle\vec{S}(x)\cdot\vec{S}(0)\rangle\sim e^{-x/\xi}$), que diverge exponencialmente rápido a medida que uno se acerca a la forma de transición anterior.

Entonces, aquí tenemos un modelo en el que las fases de baja y alta temperatura están desordenadas, pero hay una transición de fase en finito$T$que implica la proliferación y desunión de pares de defectos topológicos. Pensando en los defectos como cargas eléctricas, la transición es entonces de una fase aislante de baja temperatura a un plasma conductor con iones que se mueven libremente a mayor temperatura.

El modelo más simple que tiene una transición KT es el modelo XY clásico en 2D, que consiste en giros planos clásicos (es decir, flechas bidimensionales), en una red cuadrada, que interactúan de tal manera que quieren alinearse con sus vecinos. .

A temperatura cero, los estados que minimizan la energía del sistema son estados ferromagnéticos, eso es todo, las flechas apuntan en la misma dirección. Sin embargo, hay un número infinito de tales estados, ya que dada tal configuración (por ejemplo, todos los giros apuntan a lo largo de la dirección "x"), uno puede girar todos los giros en un ángulo arbitrario, y el sistema aún tiene la energía mínima. posible por simetría. Esto implica que uno puede crear excitaciones con energía pequeña arbitraria (sería modos Goldstone si el sistema estuviera realmente ordenado).

A una temperatura finita pero pequeña, estas excitaciones de baja energía destruyen el orden (la alineación de los espines), de acuerdo con el teorema de Mermin-Wagner. Sin embargo, se puede demostrar que el sistema tiene, no obstante, correlaciones de largo alcance (que decaen algebraicamente) debido a estas mismas excitaciones de baja energía. No se puede confiar en este análisis (llamado análisis de onda de espín) a temperaturas muy altas, donde esperamos que el sistema esté totalmente desordenado, con correlaciones de corto alcance.

Lo que falta en el análisis de ondas de espín es la posibilidad de vórtices, es decir, la posibilidad de que, a medida que se avanza en un bucle cerrado en la red, los ángulos de los espines en los sitios de red visitados sumen múltiplos de$2\pi$, ver imagen.

Estos vórtices son excitaciones de espín de alta energía, pero resultan muy importantes para comprender la transición de la correlación de largo alcance a baja temperatura y las correlaciones de corto alcance a alta temperatura. Además, se dice que son excitaciones topológicas porque no se puede deshacer un vórtice cambiando localmente la orientación de los giros (es decir, si simplemente decide girar un giro en algún ángulo, el vórtice seguirá ahí). La única forma de destruir los vórtices es aniquilar un vórtice con un antivórtice (un vórtice que gira en la dirección opuesta). Su creación va también por parejas.

Sabemos que tenemos todos los ingredientes. A baja temperatura, hay muy pocos pares vórtice-antivórtice, ya que su creación cuesta mucha energía y tienden a permanecer muy juntos (están acotados). Al igual que un dipolo eléctrico es neutral cuando se ve desde lejos, estos pares acotados no afectan mucho las correlaciones a larga distancia, y siguen siendo de largo alcance.

Sin embargo, a medida que aumenta la temperatura, se crean más y más pares, y la distancia entre los vórtices y los antivórtices crece cada vez más, hasta que se produce una transición incontrolable: todos los vórtices y antivórtices tienen libertad de movimiento, lo que destruye las correlaciones entre giros demasiado lejanos.

Esta es la transición Kosterlitz-Thouless.