¿Una pregunta ingenua sobre la función de onda ordenada topológicamente?

La entropía de entrelazamiento topológico (TEE, propuesta por Levin, Wen, Kitaev y Preskill) es una caracterización directa del orden topológico codificado en una función de onda. Aquí tengo algunas confusiones, y tomemos como ejemplo el modelo de Kitaev spin-1/2 en la red de panal.

La entropía de entrelazamiento del estado fundamental del modelo de Kitaev se puede calcular exactamente , donde el TEE = − yo norte 2 tanto para la fase con intervalos como para la fase sin intervalos . Esto es consistente con la degeneración cuádruple del estado fundamental en un toroide tanto para fases con y sin intervalos. [Aunque la degeneración del estado fundamental puede no estar bien definida en la fase sin espacios.]

Pregunta: El TEE distinto de cero del estado fundamental sin espacios dice que el estado sin espacios tiene un "orden topológico", pero el "orden topológico" solo se define para una fase con espacios. ¿Cómo entiendo yo esta paradoja?

Observaciones: personalmente creo que el concepto de "orden topológico" para un hamiltoniano con huecos y para una función de onda puede ser diferente .

Una pregunta relacionada es: si un estado dado ψ se separa o no? Una posible definición puede ser: si existe un hamiltoniano con huecos cuyo estado fundamental es ψ , entonces decimos ψ es un estado abierto. Pero esta definición parece no estar bien definida, ya que puede existir otro hamiltoniano sin espacios cuyo estado fundamental también sea ψ . Un ejemplo simple es un hamiltoniano de fermiones libres H ( tu ) = ∑ k ( k 2 + tu ) C k † C k , donde el estado de vacío | 0 ⟩ es un estado fundamental sin espacios de H ( tu = 0 ) mientras | 0 ⟩ es un estado fundamental con huecos de H ( tu > 0 ) , por lo que el significado de la brecha de un estado dado (aquí | 0 ⟩ ) puede ser ambiguo.

Así que personalmente creo que los estados fundamentales con y sin espacios en el modelo de Kitaev son funciones de onda ordenadas topológicamente ( del TEE distinto de cero ), pero solo el hamiltoniano de Kitaev con espacios (en lugar del hamiltoniano de Kitaev sin espacios ) tiene un orden topológico bien definido.

¡Gracias de antemano!

Respuestas (1)

Una muy buena pregunta. En primer lugar, el orden topológico estrictamente hablando solo se define para estados separados. Pero hasta cierto punto puede coexistir con grados de libertad continuos. Un ejemplo bastante trivial es simplemente agregar algo sin pausas desacoplado del orden topológico (es decir, fonones). Sin embargo, el ejemplo del modelo de Kitaev es bastante diferente, ya que la parte sin espacios son espinones fermiónicos y la parte con espacios son visiones ( Z 2 campos de medida). El TEE dice que la función de onda del Z 2 El campo de calibre tiene restricciones no locales (es decir, las líneas de campo eléctrico deben estar cerradas o solo deben terminar en los espines), lo que también se refleja en las estadísticas de trenzado mutuo entre espines y visons. Pero, por otro lado, los espinones sin espacios tienen un efecto significativo: por ejemplo, si uno pregunta por la degeneración topológica (además de la 1 / L excitaciones de espinón de baja energía) en un toro, mi idea es que la degeneración del estado fundamental se reduce de 4 a 1 , porque los espinones que giran alrededor de los grandes ciclos pueden medir los flujos de visión y tal proceso tiene una amplitud ∼ 1 / L .

Entonces, de hecho, la distinción que trazas es importante. Por otro lado, este estado sin espacios no es robusto: no hay nada que impida que los espinones abran un espacio de masa a menos que se impongan simetrías adicionales. Tan cerca de la fase sin espacios, hay fases A y B con espacios, las cuales tienen el mismo valor de TEE. Por lo que puede ser considerado como el "punto crítico" entre la fase A y B.

Recomiendo un artículo muy perspicaz de Bonderson y Nayak, http://arxiv.org/abs/1212.6395 , que discutió en gran profundidad cómo se puede definir el orden topológico en presencia de grados de libertad sin espacios, y cómo la degeneración del estado fundamental y el trenzado las estadísticas se ven afectadas.

Para la segunda pregunta, un estado abierto probablemente debería definirse como un estado donde todas las funciones de correlación (de operadores locales físicos) son de corto alcance. Me parece que si un estado no tiene espacios, entonces alguna función de correlación debería detectar la falta de espacios: por ejemplo, en su ejemplo del modelo de panal de Kitaev, aunque las funciones de correlación de espín son de corto alcance, las correlaciones de energía de enlace son algebraicas. No he visto un contraejemplo a este criterio, pero tampoco creo que se haya probado con rigor. Puede consultar http://arxiv.org/abs/math-ph/0507008 para obtener una prueba de la brecha espectral que implica correlaciones de corto alcance (también debe tener cuidado sobre si se deben usar funciones de correlación conectadas, tantos detalles sutiles). ..).

Muchas gracias por sus comentarios perspicaces y referencias sugeridas. La primera parte de tu respuesta me parece profunda y es posible que dedique más tiempo a comprenderla. Sin embargo, aprendí de ti que la definición de un estado con brechas ψ es a través de la longitud de correlación en lugar de algún padre hamiltoniano H . Entonces, ¿existe la posibilidad o un ejemplo de que un hamiltoniano sin espacios posea un estado fundamental con espacios ?
Puede haber otros ejemplos más simples, pero aquí hay uno: journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.109.260401
En cuanto al modelo de Kitaev de panal, para la fase sin espacios (por ejemplo, hamiltoniano de espín sin espacios en j X = j y = j z ), ¿el estado fundamental correspondiente también es sin espacios (en el sentido de que algún tipo de longitud de correlación es grande en comparación con el tamaño del sistema)? Si el estado fundamental no tiene espacios, entonces el TEE(= − yo norte 2 ) todavía bien definido?
Sí, como mencioné en la respuesta, la función de correlación de energía de enlace debería ser algebraica. Para TEE, primero se necesita tener una ley de área para la entropía de entrelazamiento, lo cual es cierto para sistemas sin espacios con dispersión lineal (o invariancia emergente de Lorentz). Entonces TEE es solo la corrección de la ley de área.
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