Según la teoría de Landau-Ginzburg (LG), escribimos una teoría (Hamiltoniana) con todas las posibles interacciones/operadores (en términos de algún parámetro de orden) que respeta ciertas simetrías. El estado fundamental (que varía con los acoplamientos/parámetros sintonizables en la teoría) podría romper parcialmente parte de la simetría de forma espontánea, y el comportamiento de las funciones de correlación (observables) depende del espectro de fluctuaciones sobre el estado fundamental. Entonces, caracterizamos el estado fundamental y el espectro de fluctuaciones por algún parámetro de orden local que nos informa sobre el comportamiento cualitativo del sistema (también conocido como "fase").
¿Cómo encaja la noción de "orden topológico" y "estados cuánticos de la materia a temperatura cero" en esta imagen de la materia y las fases? Agradecería si alguien pudiera poner esto en contexto. ¿Cuáles son los observables que usamos para caracterizar estados/fases? ¿Está hablando de una comprensión diferente de los mismos fenómenos que LG, o su objetivo es explicar fenómenos completamente diferentes? Si tiene un alcance más amplio que LG, ¿LG encaja en esta teoría de alguna manera? ¿Hay algún principio general aquí, como mi descripción anterior para la teoría LG?
El orden topológico no se puede describir en el paradigma de ruptura de simetría de Ginzburg-Landau. En realidad, es justo decir que el orden topológico son más o menos las propiedades de las fases cuánticas (con huecos) que no pueden ser capturadas por GL. Una forma de definirlo es usar la noción de continuidad adiabática: si dos fases separadas de la materia se pueden conectar variando adiabáticamente el hamiltoniano sin cerrar la brecha, consideramos que son la misma fase. Así que estamos haciendo la teoría de la "homotopía" de las fases cuánticas en algún sentido. Uno puede exigir que los hamiltonianos permitidos que conectan diferentes fases deben preservar ciertas simetrías, luego uno obtiene nociones refinadas como fases topológicas simétricas protegidas/enriquecidas.
En términos generales, no hay parámetros de orden local (a veces, un estado ordenado topológicamente también rompe cierta simetría, por ejemplo, simetría de inversión de tiempo, pero este hecho en sí mismo no define el orden topológico). Y muchas veces los estados ordenados topológicamente no rompen ninguna simetría microscópica (por ejemplo, líquido de espín cuántico en una red).
En mi opinión, dos "principios" generales para el orden topológico son (1) estructura de calibre emergente: por lo general, se puede describir el orden topológico y sus transiciones de fase utilizando algún tipo de teoría de calibre emergente. (2) Estructura de entrelazamiento. Si solicita un marco matemático, entonces la teoría de categorías de tensores modulares captura la esencia del orden topológico bidimensional de una manera abstracta pero bastante poderosa (hasta algunos detalles sobre la física de borde).
Xiao Gang Wen