El estado de la geometría de la escuela secundaria.

Uno puede hacer geometría euclidiana como un juego completamente formal de lógica simbólica. Los axiomas de Euclides son casi suficientes para esto, excepto que carecen de apoyo formal para algunas propiedades de continuidad "obvias" como

Dada una circunferencia con centro$C$, y un punto$A$tal que$|CA|$es menor que el radio del círculo. Entonces cualquier línea recta a través$A$intersecta el círculo.

David Hilbert, uno de los pioneros del punto de vista formalista, desarrolló un sistema axiomático que cierra estas brechas y permite que cualquier teorema euclidiano sobre un número finito de líneas, círculos y puntos se demuestre completamente formalmente. Uno puede trabajar en este sistema sin ninguna referencia a la aritmética o la teoría de conjuntos, considerando los axiomas geométricos de Hilbert como una alternativa a, digamos, ZFC como la base formal de su razonamiento.

( Editar: Vaya, mi historia estaba un poco equivocada. El sistema axiomático de Hilbert no era completamente formal. Alfred Tarski desarrolló más tarde un sistema completamente formal ; lo que digo aquí sobre Hilbert debería leer Tarski en su lugar).

Por supuesto, cuando uno hace eso, no necesariamente piensa en las líneas y los puntos como "realmente existentes" en algún sentido platónico; después de todo, la idea básica del formalismo es que ningún objeto matemático "realmente existe" y todo son solo símbolos en la pizarra con la que jugamos un juego de salón de pruebas formales. Pero eso no significa que sea necesario, o incluso deseable, considerar los puntos como tuplas coordinadas mientras se juega. De hecho, muchos matemáticos probablemente estarían de acuerdo en que los puntos y las líneas de los axiomas geométricos de Hilbert existen "en y por sí mismos" al menos en la misma medida en que los conjuntos de ZFC (o, por ejemplo, los números reales) existen "en y por sí mismos". ".

Hay algunos puntos adicionales sobre este estado de cosas que tienen el potencial de causar confusión, pero que en realidad no cambian los hechos básicos:

• Cuando hablo de los axiomas de Hilbert como una "alternativa" a ZFC, no quiero decir que puedan usarse como base para todas las matemáticas de la forma en que lo es ZFC, porque no han sido diseñados para cumplir ese papel. Me refiero simplemente a que ocupan la misma posición ontológica en términos de los conceptos con los que uno necesita estar familiarizado para poder trabajar con ellos. Quizás "paralelo" podría ser una mejor palabra que "alternativo".

• Las reglas de lo que consisten las pruebas formales válidas (en ZFC o geometría) se definen en última instancia de manera informal . Uno puede construir un modelo formal de las reglas, pero eso simplemente lleva la informalidad al siguiente metanivel, porque el razonamiento sobre el modelo formal en sí mismo necesita algún tipo de fundamento.

• Cuando uno formaliza las reglas de las pruebas formales, a menudo lo hace en un entorno de teoría de conjuntos. Sin embargo, esto no significa que una teoría diferente como la geometría de Hilbert "depende" de la teoría de conjuntos de una manera fundamental. Recuerde que la teoría de conjuntos que usamos para formalizar la lógica puede considerarse en sí misma una teoría formal, y en algún momento tenemos que detenernos y estar satisfechos con una noción informal de prueba (no pueden ser tortugas hasta el final). Y no hay una buena razón por la que tenga que haber una metacapa de teoría de conjuntos debajo de la geometría antes de que alcancemos el punto inevitable de no más formalización.

• Esto no significa que formalizar las reglas de la prueba geométrica formal sea un ejercicio sin sentido. Hacerlo puede decirnos cosas sobre el sistema axiomático que no se pueden probar dentro del sistema formal en sí. En particular, si formalizamos el sistema axiomático dentro de la teoría de conjuntos, tenemos acceso a la poderosa maquinaria de la teoría de modelos para probar hechos sobre el sistema axiomático. Aquí es donde los números y las coordenadas entran en escena, como se describe en la respuesta de Qiaochu. Usando estas técnicas, uno puede probar [como un teorema de la teoría de conjuntos] que cada declaración formal sobre un número finito de líneas, puntos y círculos puede ser probada o refutada usando los axiomas de Hilbert.

• El sistema de Hilbert no permite hablar sobre un número indeterminado de puntos en un solo enunciado, por lo que no se pueden demostrar teoremas generales sobre, por ejemplo, polígonos arbitrarios. Esto es por diseño. El tipo de razonamiento generalmente aceptado para pruebas informales sobre polígonos arbitrarios es tan variado que formalizarlo probablemente terminaría siendo una forma más engorrosa de hacer teoría de conjuntos, y no hay mucha diversión en eso.

La geometría de la escuela secundaria, en su forma más rigurosa, se basa en un conjunto de axiomas sobre cómo deben comportarse los puntos, las líneas, las longitudes, etc. Estos axiomas están modelados por el comportamiento de puntos, rectas, longitudes, etc. en los espacios euclidianos$\mathbb{R}^n$, del mismo modo que grupos específicos como los grupos simétricos$S_n$modelar los axiomas para un grupo. En otras palabras, la diferencia entre los dos puntos de vista es, en términos generales, la diferencia entre "sintaxis" y "semántica". Ambos son partes de las matemáticas ordinarias; ninguno está fuera de él.

Algunas cosas son más fáciles de hacer sintácticamente, mientras que otras son más fáciles de hacer semánticamente. Desde la perspectiva de las matemáticas modernas, el principal beneficio de la perspectiva semántica de la geometría euclidiana es que te permite hablar de cosas que van más allá de lo que se permite hablar con los axiomas tradicionales -cosas como el grupo euclidiano, etc.- y es más susceptibles a generalizaciones interesantes y explícitas.

Por ejemplo, sintácticamente es difícil decidir si la geometría no euclidiana tiene sentido. Sin embargo, semánticamente, basta con construir un modelo de geometría no euclidiana (por ejemplo, construir un espacio hiperbólico ).

Lo que se enseña en la escuela secundaria y primaria bajo la etiqueta de geometría es algo así como una decisión social. Recientemente, el NCTM (Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas), la organización profesional para K-12, publicó un anuario dedicado a la geometría que analiza ideas emergentes sobre qué es una buena elección de contenido para geometría K-12. El libro se titula Comprensión de la geometría para un mundo cambiante (71st yearbook-2009) - Editores Tim Craine y Rheta Rubenstein.

Hace unos 20 años hubo una pequeña conferencia de "geómetras de investigación" para discutir ideas para el curso topográfico de geometría para la universidad y cómo interconectar la geometría de la escuela secundaria y la universidad patrocinada por COMAP. Las "actas" (que edité) aparecieron bajo el título: Geometry's Future (1991). El "libro" está agotado, pero hay copias disponibles en las bibliotecas y probablemente haya copias usadas disponibles. Algunas de las personas cuyos ensayos aparecen son Bill Thurston, Tom Banchoff, Vic Klee y Marjorie Senechal. También está este artículo reciente de Carl Lee: www.ms.uky.edu/~lee/nctm2011/nctm2011.pdf

Le animo a leer este artículo (enlace a continuación) de Marvin Jay Greenberg. Los dos libros de texto relacionados son la cuarta edición de Geometrías euclidianas y no euclidianas y Geometría: Euclides y más allá de Robin Hartshorne . En resumen, el programa de Hilbert fue completado por Bachmann y Pejas. Se puede seguir un enfoque totalmente sintético.

Puede descargar el artículo mismo de MARVIN ... Greenberg ganó un premio por el artículo, y ciertamente está preocupado por cuestiones de fundamentos. En particular, con cierto cuidado, la geometría puede considerarse completamente sin recurrir a los números. La aritmética de segmentos incluye ideas como que los segmentos de línea tienen la misma longitud o uno de ellos es más largo, pero no requiere asignar ningún número a una longitud. Además, por supuesto, estoy en el artículo. Ayudé a escribir una pequeña parte.

Gracias a todos por sus respuestas. Esto es lo que he recopilado, siéntete libre de criticar:

Por supuesto, uno puede hacer geometría fuera de la teoría de conjuntos. Hilbert no presume una teoría de conjuntos de fondo cuando establece sus axiomas en su Grundlagen der Geometrie . Dicho esto, ciertamente se pueden encontrar modelos de geometría euclidiana dentro de la teoría de conjuntos:$\mathbb{R}^2$y$\mathbb{R}^3$son los principales ejemplos. Presumiblemente porque los matemáticos de hoy prefieren trabajar con todo el poder de la teoría de conjuntos, en realidad definen su plano y espacio euclidianos como$\mathbb{R}^2$y$\mathbb{R}^3$. Se podría decir que los matemáticos optan por centrarse en un modelo particular de geometría o, como máximo, en aquellos modelos que se construyen dentro de la teoría de conjuntos. De hecho, esto no representa ningún daño porque la geometría euclidiana, en la forma de Hilbert, es categórica : una misma declaración tiene el mismo valor de verdad en todos los modelos de la geometría euclidiana.

Mi punto final, que es más tenue y filosófico, se refiere al estado de la imagen "intuitiva" de la geometría. Me gustaría pensar que podemos pensar en él como otro modelo más de geometría, uno que vive dentro de la mente, abstraído del mundo que nos rodea (algo similar a lo que diría Kant).

Editar: para definir círculos, por ejemplo, parece que el lenguaje teórico establecido es inevitable. Hilbert dice:

Hago uso particularmente de la teoría de los conjuntos de puntos de Cantor [...] Si en nuestra geometría definimos un círculo verdadero como la totalidad de aquellos puntos que surgen al girar alrededor de [un punto]$M$un punto diferente de$M$[...]

Entonces, aparentemente, un 'conjunto de puntos' también es un término indefinido en el tratamiento de la geometría de Hilbert. Supongo que antes del escándalo que supuso la paradoja de Russel, los matemáticos no sintieron la necesidad de explicar en detalle sus suposiciones sobre los conjuntos y las dieron por sentadas.