¿Por qué el área de un rectángulo es la altura multiplicada por el ancho?

Sé que hay una respuesta a una pregunta similar aquí , sin embargo, lo que estoy buscando es algo ligeramente diferente.

De vez en cuando, los amigos vienen a mí con problemas matemáticos que necesitan resolver, y trato de anticipar el tipo de preguntas que podrían hacer. Recientemente, un amigo necesitaba encontrar el área de un grupo de rectángulos para saber cuántos mosaicos comprar para una pared que estaba colocando. Una de las preguntas que pensé que podría hacer era la pregunta del título, y me di cuenta de que, durante todo el tiempo que he pasado estudiando matemáticas, no creo que pueda dar una explicación intuitiva decente de este hecho básico. .

Así que mi pregunta es esta: si tuvieras que dar una explicación intuitiva y no rigurosa a un profano o a un joven estudiante, ¿cómo lo harías?

Editar : un comentario útil y una edición han sugerido usar el ejemplo de las canicas como explicación, sin embargo, la razón por la que no creo que eso responda completamente a mi pregunta es porque puedo anticipar que eso causará problemas en la intuición de alguien cuando se enfrente a un rectángulo que tiene un alto o ancho decimal. ¿Qué significaría tener 0.36 canicas por ejemplo?

Editar: para ser claros, la pregunta que hago aquí es cómo le explicaría a un profano con poco conocimiento de matemáticas por qué el área de un rectángulo es el ancho por la altura. No estoy preguntando cómo le explicaría a mi amigo cuántos mosaicos necesita para llenar su pared. Mencioné ese problema simplemente porque es lo que me motivó a pensar en esta pregunta.

Comience con una línea horizontal de longitud yo . Ahora, arrastre la línea hacia arriba, manteniéndola horizontal. Si lo arrastra hacia arriba una distancia de b , entonces ha 'barrido' un área de yo × b .
@TobyMak De alguna manera, consideré usar el ejemplo de las canicas, etc., pero me pregunto si el salto conceptual de objetos discretos a un rectángulo que es más "continuo" podría no traducirse bien con la intuición de alguien, especialmente para un lego sin ningún conocimiento matemático. . Puedo anticipar que alguien estará confundido por la posibilidad de un rectángulo de una altura de digamos 0.36 , y entonces podrían estar confundidos por lo que 0.36 canicas podría significar.
Encontré esta pregunta con mejores respuestas, pero no parece que esas respuestas sean lo que quieres.
@TobyMak no, no del todo. ¡Agradezco tu ayuda buscando!
Cuántos mosaicos necesitará su amigo es en realidad una pregunta más complicada que solo medir el área, porque si los lados del rectángulo que se colocará en mosaico no son múltiplos enteros del tamaño de un mosaico, debe dividir los mosaicos para encajar y necesita para averiguar qué parte del área de las baldosas rotas podrá utilizar. Los trucos que le permitirán usar menos mosaicos, como colocarlos en un ángulo oblicuo a los lados del rectángulo, pueden no ser aceptables.
0.36 de un mosaico cuadrado significa que divides tu mosaico en 10 × 10 = 100 fichas más pequeñas y toma 36 de estas.
¿Responde esto a tu pregunta? Área del rectángulo.
¿Alguna idea sobre las respuestas que has tenido, Sera?
Varias personas han tratado de ayudarte aquí, Sera. No es educado dejarlos colgados.
@GerryMyerson Estuve muy ocupado los últimos días. No he tenido mucho tiempo para responder a todos los que han intentado ayudarme. Como puede ver, realicé numerosas ediciones para abordar algunos problemas recurrentes y respondí a las sugerencias de varias personas en los comentarios. Así que no creo que sea justo acusarme de dejar colgada a la gente. Me pondré a responder a los demás tan pronto como pueda dedicarle algo de tiempo.
Has comentado una de las tres respuestas, y tu último comentario y última edición fueron hace tres o cuatro días. Espero que puedas ver cómo alguien podría concluir que estabas dejando a la gente colgada. También espero que otras presiones se alivien y tenga tiempo para comunicarse con nosotros.
@GerryMyerson Bueno, en realidad no importa ahora porque estoy de regreso, así que responderé a su pregunta en breve.
@Intelligentipauca El tema es que no quiero confiar en el todo 1 × 1 cuadrado tiene un área de 1 cosa. Estoy tratando de encontrar un argumento que realmente no se base en esa afirmación.
También @Integrand explico en mi primera edición por qué no acepto esa respuesta. Tiene un problema similar al 1 × 1 cuadrado tiene un área de 1 afirmación.
Gracias por todas sus respuestas, chicos, ¡agradezco su ayuda!

Respuestas (3)

Creo que realmente se reduce a si tienes una buena idea de qué área es o no. El área es una medida de cuánto espacio ocupa algo. 1 unidad cuadrada es el área de un cuadrado de una unidad por una unidad. Ahora, un rectángulo de longitud a y ancho b se puede dividir en a × b cuadrados de una unidad por una unidad.

Por lo tanto, el área de un rectángulo es a × b .

Esto supone que el laico o el estudiante en cuestión no tiene idea de lo que realmente significa área. No en un sentido matemático de todos modos. No estoy seguro si el término " 1 unidad cuadrada es el área de un cuadrado de una unidad por una unidad" sería útil para esa persona.
¿No crees que el profano lo entendería?
El problema es que el área es un concepto tan útil, no solo como un concepto práctico, sino como un concepto que es la base de tantos temas en matemáticas, ciencias e incluso se extiende a campos como la geografía y la economía (es decir, el valor de tierra). No tiene sentido usar las definiciones de conceptos matemáticos, como los axiomas de Peano, ya que serán aún más oscuros. Todas las disciplinas están relacionadas e influenciadas entre sí, por lo que diría que si tienen dificultades con el concepto de área, les resultará difícil comprender cualquier otra cosa.
@Toby mak, ¿crees que mi respuesta es útil o demasiado matemática?
@ A-levelStudent bueno, depende del laico, por supuesto. No estoy sugiriendo que los laicos sean estúpidos, no me malinterpreten. Solo tengo en mente un tipo específico de persona (basado en mi amigo), que realmente no tiene ningún conocimiento o intuición matemática, pero que podría sentirse obligado a hacer preguntas.
@SeraPhim Llámalo mosaico en lugar de una unidad 1x1. El punto es que si haces una habitación a veces más, usted necesita a veces tantas fichas. Lo mismo si lo haces b veces más ancho. Así que una habitación que es a veces más largo y b veces más ancho que un solo azulejo necesitará a × b losas.
Los instaría a tomar algunos cursos de matemáticas de nivel introductorio, en algo así como un centro de educación para adultos. No tener un conocimiento básico de matemáticas es como no tener un conocimiento básico de inglés, que es no poder escribir ni leer. Las matemáticas, como cualquier otra materia, son increíblemente importantes para desarrollar habilidades de pensamiento crítico y abren muchas oportunidades para el alumno.
@A-levelStudent Está bien, pero creo que no ha abordado completamente lo que significa 'área' cuando tiene unidades fraccionarias (número racional).
@JaapScherphuis que tiene el mismo problema que el ejemplo con canicas del que hablé en mi edición. Dividir un rectángulo en 1 × 1 mosaico realmente no tiene sentido si tienes un 0.54 por 0,67 rectángulo. Puede hacer que tenga sentido, por supuesto, cambiando la escala de sus mosaicos, etc., pero creo que eso comienza a entrar en cosas más avanzadas que el tipo de persona en la que estoy pensando encontraría demasiado abstracto.
@SeraPhim No creo que usar un tamaño de mosaico más pequeño sea demasiado abstracto. Sin embargo, tenga en cuenta que su pregunta se encuentra en el contexto de una situación real en la que tener que cortar los mosaicos para que encajen no significa automáticamente que los pedazos que corte se puedan usar en otro lugar. En esta situación práctica, probablemente debería simplemente redondear cada lado del rectángulo al siguiente múltiplo entero del tamaño del mosaico de todos modos.
@JaapScherphuis, pero ¿qué se supone que debes decir cuando te hacen la pregunta "pero por qué un 1 × 1 azulejo tiene un área de 1 ?". Tendrías que usar el mismo razonamiento en ese punto, que puedes dividir ese mosaico en mosaicos más pequeños, y así hasta el infinito. Realmente no explica por qué el área es la altura por el ancho .
Por cierto, estoy haciendo de abogado del diablo aquí. Estoy de acuerdo en que en muchos casos tus explicaciones serían aceptables. Tengo curiosidad por saber si hay una mejor manera de explicar esto, sin recurrir a la asignación axiomática de un 1 × 1 baldosa con un área de 1 .
Porque esa es la definición de área. El área es un concepto que hemos definido para que podamos medir el mundo real (piense en todas las aplicaciones del cálculo integral) y encuentre relaciones entre diferentes formas. En algunos puntos, tienes que aceptar la existencia de ciertos conceptos fundamentales para que podamos hacer más con los axiomas matemáticos existentes. Si un niño te pregunta '¿por qué?' muchas, muchas veces, es probable que no pueda responder en algún momento, porque lo que necesita es un razonamiento cuantitativo, no un razonamiento cualitativo.
@SeraPhim El área de un mosaico realmente no entra. Solo estamos contando el tamaño de la habitación en comparación con un solo mosaico para saber cuántos mosaicos necesitamos. Por eso una ficha es 1, porque es 1 ficha. El área real de un mosaico solo se vuelve relevante si desea comparar precios de mosaicos de diferentes tamaños, y entonces probablemente sea mejor que calcule la cantidad de mosaicos necesarios en cada caso en lugar de solo comparar por área.
@TobyMak Sí, entiendo todas esas cosas, pero es posible que un laico no. Eso es todo a lo que estoy tratando de llegar.
@JaapScherphuis, el ejemplo de los mosaicos para llenar una habitación fue solo para motivar el concepto más general de calcular el área. Esto no tiene nada que ver con la cantidad de fichas que necesita comprar mi amigo.

Ciertamente desea que el área sea proporcional a la longitud y también proporcional a la altura (dado que, por ejemplo, un rectángulo del doble de la altura puede contener dos copias del rectángulo más pequeño, por lo que debe tener el doble del área). De ello se deduce que el área debe ser C L H , dónde L es la longitud, H es la altura y C es una constante Ahora, realmente no importa en lo más mínimo qué valor (positivo) tomes para C (siempre y cuando se tome el mismo valor de C para todos los rectángulos), por lo que adoptamos la convención de tomarlo como el número más simple, que es 1 .

Así es como extendería el concepto de 'área' a los números racionales:

Suponiendo que el rectángulo tiene dimensiones a × b dónde a , b son números racionales, encuentre el 'máximo común divisor' de a y b . Por ejemplo, si el rectángulo tiene ancho 0.80 = 4 5 y altura 0.36 = 9 25 , el mínimo común múltiplo sería mcd ( 4 , 9 ) mcd ( 5 , 25 ) = 1 25 = 0.04 .

Entonces 0.80 = 0.04 × 20 , y 0.36 = 0.04 × 9 . Por lo tanto, el área de este rectángulo es 0.04 × 0.04 veces la de un 20 por 9 rectángulo, que se puede subdividir en 20 × 9 cuadrados unitarios, cada uno de área 1 . Por lo tanto, el área de este rectángulo sería 0.04 × 0.04 × ( 20 × 9 ) = 0.288 .

¿Por qué el área de un rectángulo es la altura multiplicada por el ancho?
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