¿Por qué no formular la Mecánica Cuántica usando Lagrangianos? [duplicar]

Es porque se basan en el enfoque histórico: la ecuación de Schroedinger.

La ecuación de Schroedinger se descubrió por sí sola antes de que supiéramos acerca de la cuantización canónica. Dirac ideó las reglas canónicas de cuantización que reescribieron (y generalizaron) la ecuación de Schroedinger en la familiar que tenemos hoy,$\hat{H} \psi = i \dot{\psi}$.

Dicho esto, existe un enfoque que utiliza la acción (y por lo tanto la densidad lagrangiana o lagrangiana) debido a Feynman: el enfoque integral de camino. Este enfoque tiene como su mayor ventaja la capacidad de reconciliarse con la Relatividad Especial, que resultó ser una tarea demasiado difícil para las extensiones de la ecuación de Schroedinger (la Ecuación de Dirac fue el intento más exitoso, pero no fue lo suficientemente general como para describir algunos fenómenos) .

Esto es lo que se utiliza en la física cuántica más avanzada como la teoría cuántica de campos, siendo la electrodinámica cuántica el mejor ejemplo. Pero a menos que esté interesado en la física de partículas de alta energía o en la física de la materia condensada realmente avanzada, la mecánica cuántica tradicional es suficiente.

No tengo una respuesta de por qué no hay una formulación lagrangiana simple, pero puedo explicar algo de por qué una formulación hamiltoniana es fácil. Parte del camino para pasar de la mecánica clásica a la cuántica es reemplazar los corchetes de Poisson con conmutadores y los observables con operadores en el espacio de Hilbert y sus valores esperados. Entonces la ecuacion

$\frac{d}{dt} f(q, p, t) = \left\{ f,H \right\} + \frac{\partial f}{\partial t}$

se convierte en el cuanto

$\frac{d}{dt} \langle f \rangle = -i \langle\left[f,H \right]\rangle + \langle \frac{\partial f}{\partial t} \rangle.$

Entonces, el hamiltoniano es conveniente porque proporciona directamente la evolución temporal de los operadores, estados y valores esperados. Además, debido a que el hamiltoniano es una cantidad conservada, los estados estacionarios (es decir, aquellos que no evolucionan en el tiempo) serán vectores propios del hamiltoniano, y los problemas de valores propios son fáciles.

Puedo pensar en varias razones por las que se prefiere usar hamiltonianos, pero la más importante, diría, es que necesita usar el formalismo de integral de ruta para formular QM (no relativista) en términos del Lagrangiano, que, para un curso de pregrado, es un poco exagerado.

Además, muchas de las ecuaciones más reconocidas en QM como, por ejemplo, la ecuación de Schrödinger, usan el hamiltoniano:$\hat H \Psi=\hat E \Psi$Entonces, aunque es posible, ¿por qué cambiarlo? Sería bastante doloroso hacerlo.

Sin embargo, por lo que entiendo, la QM moderna se basa en gran medida tanto en el formalismo hamiltoniano como en el lagrangiano.

¡Espero que haya ayudado!