¿Qué es exactamente un desplazamiento virtual en la mecánica clásica?

Question

¿Qué es exactamente un desplazamiento virtual en la mecánica clásica?

Física
definición
desplazamiento
mecanica clasica
dinámica restringida
formalismo lagrangiano

Oro

Estoy leyendo Mecánica Clásica de Goldstein y dice lo siguiente:

Un desplazamiento virtual (infinitesimal) de un sistema se refiere a un cambio en la configuración del sistema como resultado de cualquier cambio infinitesimal arbitrario de las coordenadas $\delta \mathbf{r}_i$ , consistente con las fuerzas y restricciones impuestas al sistema en el instante dado $t$ . El desplazamiento se llama virtual para distinguirlo de un desplazamiento real del sistema que ocurre en un intervalo de tiempo $dt$ , durante el cual las fuerzas y restricciones pueden estar cambiando.

Luego habla del trabajo virtual, etc. Ahora, no puedo comprender qué es realmente esta cosa virtual. Según este texto, hay una diferencia entre un cambio infinitesimal y un cambio virtual y realmente no entiendo qué es realmente este virtual.

Además, esto se basa en infinitesimales. ¿Cómo se puede expresar esto rigurosamente sin referirse a los infinitesimales? Intenté buscar en Physics for Mathematicians de Spivak, donde considera estos desplazamientos virtuales como vectores tangentes a una cierta variedad, pero no estoy seguro de que esta sea la forma más "estándar" de hacerlo con rigor.

qmecanico

Más sobre el desplazamiento virtual . Con respecto a los infinitesimales, consulte physics.stackexchange.com/q/70376/2451 , physics.stackexchange.com/q/92925/2451 y sus enlaces.

Respuestas (4)

¿Qué es exactamente un desplazamiento virtual en la mecánica clásica?

Más sobre el desplazamiento virtual . Con respecto a los infinitesimales, consulte physics.stackexchange.com/q/70376/2451 , physics.stackexchange.com/q/92925/2451 y sus enlaces.

joshfísica · Answer 1

Dejar $Q$ denote el conjunto de todas las configuraciones posibles del sistema (la variedad de configuración). Considere un punto $q_0\in Q$ . En aras de la claridad conceptual y para hacer contacto con la notación física, trabajemos en algún parche de coordenadas local alrededor $q_0$ .

Suponer que $q_0$ representa la posición del sistema bajo consideración en el momento $t_0$ . En un momento dado $t$ más tarde, el sistema estará en alguna posición digamos $q(t)$ que está determinada por las ecuaciones de evolución (las ecuaciones de Euler-Lagrange si estamos haciendo mecánica lagrangiana), y la cantidad

\begin{aligned} q (t) - q (t_{0}) = q (t) - q_{0} \end{aligned}

$\begin{align} q(t) - q(t_0) = q(t) - q_0 \end{align}$ sería el desplazamiento del sistema después de un tiempo

t - t_{0}

$t-t_0$ . Supongamos que, en cambio, consideramos alguna otra curva

γ (s)

$\gamma(s)$ en el espacio de configuración que comienza en el punto

s_{0}

$s_0$ ;

\begin{aligned} γ (s_{0}) = q_{0}, \end{aligned}

$\begin{align} \gamma(s_0) = q_0, \end{align}$ y supongamos que calculamos el desplazamiento

\begin{aligned} γ (s) - γ (s_{0}) = γ (s) - q_{0} \end{aligned}

$\begin{align} \gamma(s) - \gamma(s_0) = \gamma(s) - q_0 \end{align}$ que resultaría de moverse a lo largo de esta otra curva de nuestra elección. Llamamos a este desplazamiento el desplazamiento virtual después de un "tiempo"

s - s_{0}

$s-s_0$ correspondiente a moverse a lo largo de la curva

γ

$\gamma$ . Se llama virtual porque es el desplazamiento en la posición del sistema que ocurriría si el sistema se moviera a lo largo de la curva

γ

$\gamma$ de nuestra elección, una curva "virtual" en oposición a la curva "real" a lo largo de la cual viaja el sistema de acuerdo con la evolución lagrangiana del sistema.

Nota. Como sugirió Qmechanic en los comentarios, usé el parámetro $s$ para la curva virtual $\gamma$ en vez de $t$ para enfatizar que moverse a lo largo de esa curva no corresponde a la evolución del tiempo, sino a cualquier curva de nuestra elección.

Ahora, ¿qué pasa con los desplazamientos virtuales "infinitesimales"? Bueno, recuerde que el término "infinitesimal" en física esencialmente siempre se refiere a aproximaciones de "primer orden", vea, por ejemplo, esta publicación SE:

Bases rigurosas de los infinitesimales en la física

Entonces, cuando estamos discutiendo un desplazamiento infinitesimal virtual , lo que tenemos en mente es tomar el desplazamiento virtual $\gamma(s) - q_0$ , Taylor expandiéndola a primer orden en $s$ , y extrayendo sólo el término de primer orden. Hagámoslo:

\begin{aligned} γ (s) - q_{0} = γ (s_{0}) + \dot{γ} (s_{0}) (s - s_{0}) + O ((s - s_{0})^{2}) - q_{0} \end{aligned}

$\begin{align} \gamma(s) - q_0 = \gamma(s_0) + \dot\gamma(s_0) (s-s_0) + O((s-s_0)^2) - q_0 \end{align}$ Usando el hecho de que

γ (s_{0}) = q_{0}

$\gamma(s_0) = q_0$ , vemos que la expansión de Taylor del desplazamiento virtual es

\begin{aligned} γ (s) - q_{0} = \dot{γ} (s_{0}) (s - s_{0}) + O ((s - s_{0})^{2}), \end{aligned}

$\begin{align} \gamma(s) - q_0 = \dot\gamma (s_0) (s-s_0) + O((s-s_0)^2), \end{align}$ y ahora notamos que a primer orden en

s

$s$ , el tamaño del desplazamiento virtual está controlado por el coeficiente de

s - s_{0}

$s-s_0$ , a saber

\dot{γ} (s_{0})

$\dot\gamma(s_0)$ . En otras palabras, los desplazamientos infinitesimales virtuales (lo que significa que simplemente mantenemos la contribución de primer orden en

s - s_{0}

$s-s_0$ ), están determinados por el vector de velocidad de la "curva virtual" elegida en

s_{0}

$s_0$ . Pero si ha tomado un curso de geometría diferencial, entonces sabe que las velocidades de las curvas en una variedad son simplemente vectores tangentes a esa variedad .

Entonces, los desplazamientos infinitesimales virtuales se pueden asociar con vectores tangentes a la variedad de configuración. La intuición a tener en cuenta aquí es que un desplazamiento virtual simplemente nos dice qué tan lejos nos alejaríamos de cierto punto en la variedad si tuviéramos que viajar en cierta curva de nuestra elección que puede no coincidir con el movimiento real de la variedad. sistema determinado por la evolución del tiempo. La parte "infinitesimal" y la identificación de esta parte con vectores tangentes proviene simplemente de considerar lo que sucede solo con el primer orden.

Gracias por tu respuesta, ahora está mucho más claro de dónde viene el nombre "virtual", pero tengo una duda. Goldstein dice que estos desplazamientos virtuales deberían ser consistentes con las fuerzas y restricciones. Eso no haría la curva $\gamma$ ser exactamente la solución de las ecuaciones de evolución? ¿Qué quiere decir realmente con eso entonces?
@ user1620696 Imagine que tiene una partícula restringida para moverse en la superficie de una esfera pero que, por lo demás, la partícula está libre. Si la partícula está sentada en algún punto y le das cierta velocidad inicial, entonces viajará a lo largo de un gran círculo de partículas (aquel cuya tangente está en la misma dirección que la velocidad inicial). Sin embargo, aunque las condiciones iniciales nos dicen que la partícula se moverá en una dirección particular, podríamos haber considerado enviarla en cualquier dirección a lo largo de alguna curva que se encuentra en la esfera; esto aún sería consistente con las restricciones.
Sugerencia para la respuesta (v1): cuando discuta desplazamientos virtuales, llame al parámetro de la curva de otra manera que $t$ , p.ej $s$ o $u$ (como el lector puede confundir $t$ con tiempo). Recuérdese que un desplazamiento virtual tiene lugar en un instante de tiempo congelado.
@Qmechanic Sí, estaba indeciso sobre si hacer eso o no, pero creo que tienes razón; podría ser confuso como está escrito por esa razón. Cambiaré la notación. Gracias por la sugerencia.
(+1) Muy buena explicación. Pero eso sería mucho mejor si pudiera proporcionar un ejemplo simple que pueda ayudar a comprender el razonamiento abstracto. :)
@HR Estoy de acuerdo. Intentaré encontrar algo de tiempo y pensar en uno bueno.
De acuerdo con su discusión, entonces, ¿cómo podemos derivar eso? $\delta \vec{x}_i := \sum_{k=1}^n\frac{\partial \vec{x}_i}{\partial q^k} \delta q^k$ ? ¿¡Vas a decir que esta es la definición de desplazamiento virtual!? :) Creo que hay un grave abuso de notación en la relación que mencioné o hay una mala definición de desplazamiento virtual!
¿Sería el movimiento circular un buen ejemplo de desplazamiento virtual?

floris · Answer 2

En resumen: el desplazamiento virtual es "fingir que te mueves, pero en realidad no te mueves". En otras palabras, se mueve en una cantidad tan pequeña que no cambia el estado del sistema, pero le da una idea (a través del trabajo realizado, etc.) de lo que sucedería si se mudara .

En otras palabras, si el sistema realmente se está moviendo, puede observar un intervalo $dt$ para ver lo poco que se movía en ese tiempo. Eso es un movimiento "infinitesimal". Con el movimiento virtual, finges que te mudaste $dx$ - pero no porque el sistema esté en movimiento, sino simplemente imaginando que hiciste el movimiento más pequeño (en un tiempo finito), por lo que no hay velocidad, $\frac{dx}{dt}=0$ )

"finge que te estás moviendo, pero en realidad no te muevas". En otras palabras, te mueves en una cantidad tan pequeña ", si pretendemos movernos una distancia mayor, ¿no sería entonces un desplazamiento virtual? Porque el artículo de Wikipedia dice "todos los caminos virtuales posibles" ...

Sahil · Answer 3

Puedes investigar esto. Tiene elaborados trabajos sobre la comprensión de lo que es el desplazamiento virtual. https://www.researchgate.net/publication/2174249_On_Virtual_Displacement_and_Virtual_Work_in_Lagrangian_Dynamics

usuario55944 · Answer 4

Según tengo entendido, debe ser un desplazamiento en coordenadas generalizadas. Si son coordenadas espaciales ortogonales no son virtuales.

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