¿Qué es exactamente la regla de Max Born?

Ellos son la misma cosa. Tenga cuidado, creo que el otro libro que está leyendo por 'amplitud del valor propio' significa la amplitud de probabilidad de medir ese valor propio, no la amplitud del valor propio en sí (de lo contrario, los valores realmente grandes de un observable tendrían probabilidades realmente altas, lo que no tiene sentido ).

Es la misma cosa. La forma en que lo enfoco es comenzar con un espacio de Hilbert abarcado por estados de posición (en realidad, comienzo un poco más atrás, al justificar el espacio de Hilbert, pero el presente argumento comienza con el espacio de Hilbert).

Para cualquier ket$|f\rangle \in \mathbb H$podemos definir las magnitudes de los coeficientes$\langle|f\rangle$en el espacio de posición según la regla de Born,

Cuando hacemos una medición,$K$, obtenemos un resultado definido, un decimal terminal o$n$-tupla de decimales terminales leídos en el aparato de medición. Sean los posibles resultados$k_i$en$\mathbb Q^n$para$i=1, \dots, m$. El$k_i$se toman como distintos; si$i \neq j$entonces$k_i \neq k_j$. Suponemos que la dimensión$\mathbb H$de es mayor que$m$.

Cada estado físico está asociado con un ket, etiquetado por el resultado de la medición, de modo que si el resultado medido es$k_i$entonces el estado es$|k_i\rangle$. La determinación empírica de$|k_i\rangle$requiere que extraigamos de los datos experimentales el valor del producto interno$\langle k_i|f\rangle$por arbitrario$|f\rangle$.

Sin pérdida de generalidad,$|k_i\rangle$y$|f\rangle$están normalizados. Por suposición, la medición de$K$es reducible a un conjunto de medidas de posición, de modo que cada$k_i$está en correspondencia uno a uno con las posiciones$y_i$de una o más partículas utilizadas para la medición (p. ej.$y_i$pueden ser las posiciones de uno o más punteros). Entonces

Para relacionar esto con los estados propios de un observable hermitiano, notamos que la medición con resultado,$k_i$, implica una acción física sobre un sistema y está representada por la acción de un operador,$K_i$, en el espacio de Hilbert. Si una cantidad es medible, requerimos que haya un elemento de realidad física asociado con su medición, lo que significa que la configuración de la materia necesariamente se vuelve tal que la cantidad tiene un valor bien definido. En la práctica esto significa que, en el límite en el que el tiempo entre dos medidas llega a cero, una segunda medida de la cantidad da necesariamente el mismo resultado que la primera. Resulta que$K_i$es un operador de proyección

(esto ha sido extraído de mi libro The Mathematics of Gravity and Quanta y mi artículo publicado The Hilbert space of conditional clauses )