¿Origen de las probabilidades en Mecánica Cuántica?

Question

¿Origen de las probabilidades en Mecánica Cuántica?

Juan Eastmond

La función de onda no normalizada de un qubit general viene dada por:

| ψ ⟩ = A | 0 ⟩ + B | 1 ⟩ .

$|\psi\rangle=A|0\rangle+B|1\rangle.$ Las amplitudes complejas

A

$A$ y

B

$B$ se puede representar con dos flechas en el plano complejo:

Ahora la función de onda se puede multiplicar por cualquier número complejo $R$ sin cambiar la física. Esto hará que las flechas $A$ y $B$ para rotar y contraer/expandir juntos con un ángulo fijo entre ellos.

Por tanto se trazarán dos conjuntos de puntos representados por una circunferencia de área $|A|^2$ y un circulo de area $|B|^2$ . Estos representan los conjuntos de valores posibles para las amplitudes $A$ y $B$ .

Por lo tanto, si nos enredamos con el qubit, entonces las probabilidades de encontrarnos en conjunto $A$ (medición $0$ ) o establecer $B$ (medición $1$ ) están dadas por:

PAG (0) = \frac{| A |^{2}}{| A |^{2} + | B |^{2}}

$P(0)=\frac{|A|^2}{|A|^2+|B|^2}$

PAG (1) = \frac{| B |^{2}}{| A |^{2} + | B |^{2}} .

$P(1)=\frac{|B|^2}{|A|^2+|B|^2}.$

¿Ayuda esta imagen a comprender el origen de las probabilidades en la mecánica cuántica?

Corrección

Dejar

A = R_{A} {mi}^{i θ_{A}}

$A=R_Ae^{i\theta_A}$

B = R_{B} {mi}^{i θ_{B}}

$B=R_Be^{i\theta_B}$ Una función de onda general normalizada viene dada por:

| ψ ⟩ = \frac{1}{(R_{A}^{2} + R_{B}^{2})^{1 / 2}} [R_{A} {mi}^{i θ_{A}} + R_{B} {mi}^{i θ_{B}}]

$|\psi\rangle=\frac{1}{(R_A^2+R_B^2)^{1/2}}\large[R_Ae^{i\theta_A}+R_Be^{i\theta_B}\large]$ Supongamos que multiplico las amplitudes

A

$A$ y

B

$B$ por

C = R {mi}^{i θ}

$C=Re^{i\theta}$ Entonces la función de onda normalizada se convierte en

| ψ ⟩ = \frac{1}{R (R_{A}^{2} + R_{B}^{2})^{1 / 2}} [R R_{A} {mi}^{i (θ_{A} + θ)} + R R_{B} {mi}^{i (θ_{B} + θ)}]

$|\psi\rangle=\frac{1}{R(R_A^2+R_B^2)^{1/2}}\large[RR_Ae^{i(\theta_A+\theta)}+RR_Be^{i(\theta_B+\theta)}\large]$

| ψ ⟩ = \frac{{mi}^{i θ}}{(R_{A}^{2} + R_{B}^{2})^{1 / 2}} [R_{A} {mi}^{i θ_{A}} + R_{B} {mi}^{i θ_{B}}]

$|\psi\rangle=\frac{e^{i\theta}}{(R_A^2+R_B^2)^{1/2}}\large[R_Ae^{i\theta_A}+R_Be^{i\theta_B}\large]$ Parece que el único grado de libertad es un ángulo de fase.

θ

$\theta$ en lugar de un área como afirmé anteriormente.

Andrés

¿Por qué deberíamos asociar el área de los círculos que has dibujado con las probabilidades de medir el qubit para tener valor?

0

$0$ o

1

$1$ ?

Juan Eastmond

cada círculo

A

$A$ o

B

$B$ representa los conjuntos de valores para las amplitudes

A

$A$ o

B

$B$ .

Andrés

Sí, pero ¿por qué las áreas de estos conjuntos deberían estar relacionadas con la probabilidad de medir un qubits para tener valor 0 o 1?

Andrés

Además, ¿cómo generalizaría este argumento a un sistema de 2 qubits entrelazados, donde los estados viven en 4 dimensiones? Su lógica lo llevaría a considerar volúmenes de esferas de 4 dimensiones, en cuyo caso las probabilidades escalarían con la 4-ésima potencia de la amplitud.

Juan Eastmond

Bueno, simplemente te encuentras en un conjunto u otro cuando te enredas con cualquiera

| 0 ⟩

$|0\rangle$ o

| 1 ⟩

$|1\rangle$ . Su función de onda tiene que tener alguna fase general. Hay

| A |^{2}

$|A|^2$ fases asociadas con

| 0 ⟩

$|0\rangle$ y

| B |^{2}

$|B|^2$ fases asociadas con

| 1 ⟩

$|1\rangle$ .

Juan Eastmond

si tienes un

n

$n$ -función de onda dimensional entonces tienes

n

$n$ círculos en el plano complejo.

Andrés

OK, aceptaré que puedes generalizar esto a

n

$n$ dimensiones. Pero todavía no entiendo muy bien tu argumento. No se puede decir "el estado tiene

| A |^{2}

$|A|^2$ fases asociadas con

| 0 ⟩

$|0\rangle$ y

| B |^{2}

$|B|^2$ fases asociadas con

| 1 ⟩

$|1\rangle$ ." Hay una fase general que puede aplicar a todo el estado, por ejemplo

θ

$\theta$ en la expresión

| Ψ ⟩ = e^{i θ} (A | 0 ⟩ + B | 1 ⟩)

$|\Psi\rangle = e^{i\theta}(A|0\rangle + B|1\rangle)$ . Entonces no puedes representar el estado como dos círculos independientes en el plano complejo. (Por cierto, no he votado negativo, creo que la pregunta está bien, pero la respuesta es que esta propuesta no explica las probabilidades)

Juan Eastmond

Según tengo entendido puedo normalizar

| Ψ ⟩

$|\Psi\rangle$ ya sea eligiendo primero un

A

$A$ o primero eligiendo un

B

$B$ . Hay el valor de un área circular de

A

$A$ s que puedo elegir o el valor de un área circular de

B

$B$ s. Estas áreas dan los pesos para obtener valores propios

0

$0$ o

1

$1$ respectivamente. Tal vez este argumento solo funcione con una cuadrícula discreta de valores de amplitud.

Andrés

si quieres que tu estado se normalice de forma estándar,

⟨ ψ | ψ ⟩ = 1

$\langle \psi | \psi \rangle =1$ , entonces tienes un ángulo (no un área) que puedes elegir para

A

$A$ . Una vez que elija este ángulo, entonces

B

$B$ está completamente arreglado . Si desea elegir la normalización general de una manera diferente, entonces no es tanto un "área del valor de un círculo", puede elegir el ángulo y la normalización arbitrariamente, por lo que es más como una cantidad infinita de área, por

A

$A$ . Pero (en esta forma de hacer las cosas) una vez que decides qué hacer con

A

$A$ , te queda cero libertad para

B

$B$ . Así que todavía no entiendo el argumento.

Juan Eastmond

En realidad, tienes razón, solo hay un ángulo que se puede elegir, no un área.

Respuestas (1)

¿Origen de las probabilidades en Mecánica Cuántica?

¿Por qué deberíamos asociar el área de los círculos que has dibujado con las probabilidades de medir el qubit para tener valor? $0$ o $1$ ?
cada círculo $A$ o $B$ representa los conjuntos de valores para las amplitudes $A$ o $B$ .
Sí, pero ¿por qué las áreas de estos conjuntos deberían estar relacionadas con la probabilidad de medir un qubits para tener valor 0 o 1?
Además, ¿cómo generalizaría este argumento a un sistema de 2 qubits entrelazados, donde los estados viven en 4 dimensiones? Su lógica lo llevaría a considerar volúmenes de esferas de 4 dimensiones, en cuyo caso las probabilidades escalarían con la 4-ésima potencia de la amplitud.
Bueno, simplemente te encuentras en un conjunto u otro cuando te enredas con cualquiera $|0\rangle$ o $|1\rangle$ . Su función de onda tiene que tener alguna fase general. Hay $|A|^2$ fases asociadas con $|0\rangle$ y $|B|^2$ fases asociadas con $|1\rangle$ .
si tienes un $n$ -función de onda dimensional entonces tienes $n$ círculos en el plano complejo.
OK, aceptaré que puedes generalizar esto a $n$ dimensiones. Pero todavía no entiendo muy bien tu argumento. No se puede decir "el estado tiene $|A|^2$ fases asociadas con $|0\rangle$ y $|B|^2$ fases asociadas con $|1\rangle$ ." Hay una fase general que puede aplicar a todo el estado, por ejemplo $\theta$ en la expresión $|\Psi\rangle = e^{i\theta}(A|0\rangle + B|1\rangle)$ . Entonces no puedes representar el estado como dos círculos independientes en el plano complejo. (Por cierto, no he votado negativo, creo que la pregunta está bien, pero la respuesta es que esta propuesta no explica las probabilidades)
Según tengo entendido puedo normalizar $|\Psi\rangle$ ya sea eligiendo primero un $A$ o primero eligiendo un $B$ . Hay el valor de un área circular de $A$ s que puedo elegir o el valor de un área circular de $B$ s. Estas áreas dan los pesos para obtener valores propios $0$ o $1$ respectivamente. Tal vez este argumento solo funcione con una cuadrícula discreta de valores de amplitud.
si quieres que tu estado se normalice de forma estándar, $\langle \psi | \psi \rangle =1$ , entonces tienes un ángulo (no un área) que puedes elegir para $A$ . Una vez que elija este ángulo, entonces $B$ está completamente arreglado . Si desea elegir la normalización general de una manera diferente, entonces no es tanto un "área del valor de un círculo", puede elegir el ángulo y la normalización arbitrariamente, por lo que es más como una cantidad infinita de área, por $A$ . Pero (en esta forma de hacer las cosas) una vez que decides qué hacer con $A$ , te queda cero libertad para $B$ . Así que todavía no entiendo el argumento.
En realidad, tienes razón, solo hay un ángulo que se puede elegir, no un área.

RC Drost · Answer 1

Así que esa imagen es una forma de entender la mecánica cuántica y, de hecho, es una forma que Feynman usó para explicarla a personas no técnicas, que se puede ver en sus conferencias de Nueva Zelanda que fueron grabadas en video y se convirtieron en el libro QED: The Extraña teoría de la luz y la materia .

Sin embargo, no arroja mucha luz sobre los orígenes de las amplitudes, ya que es solo un axioma de cómo funciona la teoría. Como si todavía tuviera un círculo imaginario abstracto y no hay una razón real para conectar su área con ningún tipo de probabilidad, y no ha motivado cómo se pueden sumar o multiplicar estas diferentes amplitudes en esa explicación.

Solo para darle un argumento más general, el artículo de Scott Aaronson "Is Quantum Mechanics an Island in Theory Space?" argumenta que solo hay dos posibilidades, dos teorías probabilísticas, una sin probabilidades negativas que llamamos probabilidad clásica y otra con interferencia destructiva que llamamos mecánica cuántica, de modo que si se da por sentado que los sistemas cuánticos deben tener interferencia destructiva y los resultados de ciertos experimentos cuánticos no se pueden conocer de antemano (consulte la criptografía cuántica para conocer el uso de este último), entonces las únicas formas de describir esto deben usar números complejos como amplitudes.

Cosas como esas. No tiene que ser ese argumento exacto, pero sí necesita tener ese carácter arrollador. Entonces, por ejemplo, otro argumento podría tomar como punto de partida el cálculo de 2 espinores que subyace a la relatividad especial, y tal vez las amplitudes son lo único que "juega bien" con esos 2 espinores, algo que conecta QM con otros fenómenos en el mundo tal vez . Pero nunca va a ser tan simple como "simplemente mire estos círculos" porque ha dibujado esos círculos en un universo imaginario de idealización matemática, y el problema para la física es cómo modelamos las cosas en nuestro universo con cosas en tal idealización matemática. , por lo que siempre hay un paso de traducción. Entonces, la explicación tiene que partir de cosas en nuestro universo, si eso tiene sentido,

Ok, pero solo estaba tratando de entender el origen de las probabilidades en lugar del origen de las amplitudes complejas en sí. Estoy tratando de derivar la regla Born.

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Juan Eastmond

Andrés

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Andrés

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RC Drost

Juan Eastmond

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