Clases de equivalencia de asignaciones de T2T2T^{2} a un espacio arbitrario XXX

Estaba leyendo el artículo "Homotopía y cuantización en la física de la materia condensada", de JE Avron et al. ( http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.51.51 ). Allí han clasificado los mapeos de T 2 a un espacio arbitrario X . Su argumento es el siguiente: "Piensa en dos mapas de T 2 en un espacio arbitrario X. Si tomamos los dos bucles básicos en T 2 , obtenemos de cada mapa dos elementos de π 1 ( X ) y los dos mapas no pueden ser homotópicos a menos que el correspondiente par de elementos de π 1 ( X ) son lo mismo. Incluso si son iguales, claramente hay un mapa sobrante de S 2 en X." De esta manera, uno puede clasificar los mapas de T 2 en X por dos elementos de π 1 ( X ) , y un elemento de π 2 ( X ) .

Ahora entiendo cómo los dos elementos de π 1 ( X ) ocurrir. Pero no entiendo cómo los elementos de π 2 ( X ) entrar en la imagen. En otras palabras, ¿qué significa el "mapa sobrante de S 2 en X"?

Respuestas (1)

Recuerde que los grupos de homotopía π norte ( X ) se dan como clases de mapas de homotopía S norte → X , y que cada mapa F : T 2 → X induce mapas F ∗ : π norte ( T 2 ) → π norte ( X ) , [ gramo ] ↦ [ F ∘ gramo ] .

Ahora π 1 ( T 2 ) = Z 2 , pero π 2 ( T 2 ) = 0 . Si dos mapas F , h : T 2 → X ahora son homotópicos, F ∗ y gramo ∗ debe enviar los dos generadores de π 1 ( T 2 ) a los mismos elementos en π 1 ( X ) . Pero si π 2 ( X ) ≠ 0 , esto no es ninguna condición en el mapa en el π 2 , ya que siempre mandan todo a 0 . Por lo tanto, se podría decir que hay un elemento "sobrante" en π 2 ( X ) , porque los mapas no determinan nada en π 2 ( X ) , en particular, no te dan un subgrupo interesante.

Si π 2 ( X ) ≠ Z , entonces no está claro por qué los autores hablan de "un mapa sobrante S 2 → X ". Sospecho que el "espacio arbitrario" no es realmente arbitrario.

@ACuriousMind lo entendió. Ahora bien, si uno tiene que clasificar los mapas de T norte en X , tenemos que especificar, norte elementos de π 1 ( X ) , ( norte 2 ) elementos de π 2 ( X ) , ( norte 3 ) elementos de π 3 ( X ) etcétera. Está bien ?
Supongo que en el caso especial cuando π 2 ( X ) es cero entonces los dos elementos de π 1 ( X ) determinar completamente la equivalencia.
Clases de equivalencia de asignaciones de T2T2T^{2} a un espacio arbitrario XXX
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