Efecto Hall cuántico para tontos

En los últimos días me ha intrigado cada vez más el QHE, principalmente gracias a preguntas y respuestas muy interesantes que han aparecido aquí. Desafortunadamente, todavía estoy muy confundido por todas las cosas (aparentemente dispares) que aprendí.

Primero, aquí hay algunos puntos aleatorios que he podido recopilar

  1. I(entero)QHE ocurre debido a la presencia de niveles de Landau
  2. IQHE es una encarnación del orden topológico y los estados se caracterizan por el número de Chern que nos informa sobre los hamiltonianos topológicamente no equivalentes definidos en la zona de Brillouin
  3. IQHE requiere interacciones electrón-electrón insignificantes y, por lo tanto, depende de la presencia de impurezas que protegen de la fuerza de Coulomb
  4. F(racional)QHE ocurre debido a la formación de aniones. En este caso, la interacción de Coulomb no se puede ignorar, pero resulta que surge una descripción efectiva que no interactúa con partículas que obedecen a paraestadísticas y tienen carga fraccionaria.
  5. FQHE nuevamente tiene algo que ver con la topología, TQFT, la teoría de Chern-Simons, los grupos de trenzado y muchas otras cosas.
  6. FQHE tiene algo que ver con los estados de jerarquía

Entonces, aquí están las preguntas.

  • Lo más importante, ¿tienen sentido estos puntos? Corrija cualquier error que haya cometido y/o complete otras observaciones importantes
  • ¿Cómo se unen las explicaciones 1. y 2. de IQHE? La cuantización de Landau solo habla de estados de electrones, mientras que la imagen topológica no los menciona en absoluto (deberían reemplazarse por estados topológicos globales que son perturbaciones de wrt estables)
  • ¿Cómo se relacionan las explicaciones 4., 5. y 6.
  • ¿Existe alguna literatura introductoria accesible sobre estos temas?
  • ¿Tienen IQHE y FQHE algo (además de las últimas tres letras) en común para que, por ejemplo, IQHE pueda tratarse como un caso especial? Mi entendimiento (basado en 3.) es que este no es el caso, pero varios puntos apuntan en la dirección opuesta. Por eso también pregunto por ambos QHE en una sola pregunta.
Compra una copia de "Composite Fermions" de Jain y enciérrate en una habitación cómoda con muchos refrigerios. Saldrás iluminado.
Si bien respeto los trabajos de Jain, vale la pena señalar que sus libros son obviamente una visión sesgada del problema y no reflejan necesariamente el consenso de la comunidad. Sin embargo, la imagen compuesta de fermiones es agradable en su intuición y ayuda a construir una imagen mental. Por cierto, vale la pena señalar que parte de la literatura reciente sobre aisladores topológicos en realidad contiene algunas de las exposiciones más limpias del IQHE.
@genneth Creo que podrías estar refiriéndose a una controversia sobre la teoría del "fermión compuesto". El Dr. Jain aborda este tema en su libro en realidad. A pesar del obvio sesgo de Jain de promover su propia perspectiva, creo que este libro sigue siendo la mejor introducción a la física del efecto hall cuántico.

Respuestas (4)

Oh chico, es difícil saber por dónde empezar. Permítanme comenzar y ver dónde me quedo sin fuerza. Iré por el orden en que escribiste tus preguntas y haré comentarios:

  1. Cuando cuantificas electrones en un campo magnético, obtienes niveles de Landau: niveles de energía discretos que son altamente degenerados. Puede visualizar cada uno de ellos como un electrón moviéndose en un círculo cuyo radio está cuantificado (determinado por el nivel de Landau) y cuyo centro puede estar en cualquier lugar (lo que resulta en la degeneración). Al contrario de algunas discusiones que escuchas a veces, esto por sí mismo NO da como resultado una conductancia Hall cuantificada.

  2. Para el entero QHE, el siguiente paso crucial es la presencia de un potencial aleatorio, proporcionado por impurezas. Entonces se puede demostrar que cada nivel de Landau contribuye con un valor fijo a la conductancia de Hall y, por lo tanto, esa conductancia cuenta el número de niveles de Landau llenos. El hecho de que esto sea robusto está relacionado con la topología, el número de Chern y todas esas cosas buenas.

  3. FQHE es una historia diferente, para la cual la conductancia Hall puede ser fraccionaria. Lo único que tienen en común IQHE y FQHE es el efecto físico final, pero el mecanismo es muy diferente. Para el efecto fraccional, necesita muestras muy puras, ya que está impulsado por fuertes intercaciones de Coulomb entre los electrones degenerados en cada nivel de Landau. Este es un problema intrínsecamente difícil y, de hecho, solo se resolvió mediante una conjetura: la función de onda de Laughlin.

  4. La EFT que describe las excitaciones de baja energía está relacionada con la teoría de Chern-Simons, y esas excitaciones básicas obedecen a estadísticas anónicas. Más allá de eso, creo que todos los demás efectos que mencionó (por ejemplo, estados de jerarquía) podrían describirse como "temas especiales".

Finalmente, solo soy un humilde teórico de alta energía, por lo que esperaré las correcciones y una imagen más completa de los expertos. Aun así, fue divertido escribirlo.

(Dicho sea de paso, todo esto es material bien conocido que aparece en los libros de texto, aunque no siempre de manera organizada. Una buena fuente: Mike Stone ha editado una colección de artículos sobre el tema para los cuales proporcionó una serie de introducciones. Si encuentra este libro, esas introducciones son muy buenas.)

¡Muchas gracias! Veré esa introducción y (con suerte) haré preguntas un poco más enfocadas más adelante. Pero ahora mismo no sabía por dónde empezar, ya que el tema de QHE parece bastante amplio.
¡Esta respuesta es muy, muy buena!

Aquí hay algunos comentarios sobre los puntos:

1) I(entero)QHE ocurre debido a la presencia de niveles de Landau

Sí

2) IQHE es una encarnación del orden topológico y los estados se caracterizan por el número de Chern que nos informa sobre los hamiltonianos topológicamente no equivalentes definidos en la zona de Brillouin

IQHE es un ejemplo de orden topológico, aunque el orden topológico se introduce principalmente para describir FQHE. La caracterización de IQHE por el número de banda de energía de Chern solo funciona para fermiones que no interactúan sin impurezas, mientras que IQHE existe incluso para fermiones que interactúan. Entonces IQHE es más que el número Chern de banda de energía. Las excitaciones de cuasipartículas en estados IQH son siempre fermiones.

3) IQHE requiere interacciones electrón-electrón insignificantes y, por lo tanto, depende de la presencia de impurezas que protegen de la fuerza de Coulomb.

IQHE no requiere interacciones electrón-electrón insignificantes. IQHE existe incluso en el sistema limpio con fuerza de Coulomb, si controla la densidad de electrones mediante puertas.

4) F(racional)QHE ocurre debido a la formación de aniones. En este caso, la interacción de Coulomb no se puede ignorar, pero resulta que surge una descripción efectiva que no interactúa con partículas que obedecen a paraestadísticas y tienen carga fraccionaria.

FQHE ocurre no debido a la formación de anyons. Fermion siempre lleva estadísticas de Fermi por definición, y nunca son anyons. FQHE ocurre debido a fuertes efectos de interacción. La descripción efectiva que no interactúa realmente no funciona (por ejemplo, no describe los estados de borde y los estados no abelianos).

5) FQHE nuevamente tiene algo que ver con la topología, TQFT, la teoría de Chern-Simons, los grupos de trenzado y muchas otras cosas.

Los estados FQH contienen un nuevo tipo de orden: el orden topológico . Las teorías efectivas de baja energía de los estados FQH son TQFT (como las teorías de Chern-Simons). Las excitaciones de cuasipartículas en estados FQH son aniones.

6) Los estados de jerarquía son ejemplos de estados FQH.

Esto fue demasiado largo para caber en un comentario, por lo que tendrá que ser una respuesta. Todo esto complementa la respuesta de @Moshe R., que es excelente.

Primero, solo para corregir sus afirmaciones (además de las de Moshe): 3. Las impurezas no ocultan nada. Los propios electrones proporcionan el apantallamiento para hacer una aproximación de electrones independiente semi-justificada (este es el argumento habitual de Landau Fermi-líquido). Sin embargo, las impurezas brindan el potencial de dispersión básico para lograr cierta localización de Anderson, que es crucial para obtener las mesetas; de lo contrario, ¡nunca se obtendría ninguna resistencia! Por cierto, comprender este punto es crucial para comprender por qué la conductancia longitudinal muestra los picos que muestra.

Más generalmente:

En materia condensada, no llegamos a tener teorías exactas, todo es una aproximación simplificada. Como tal, uno encontrará en la literatura muchas teorías diferentes, que enfatizan diferentes aspectos del fenómeno y tienen diferentes niveles de complejidad y precisión cuantitativa. En este punto, es justo decir que IQHE se entiende bien, siendo la teoría predominante una combinación de estados topológicos, efectos de impurezas y teoría de escalado de 2 parámetros (de conductancias tanto longitudinales como transversales, ala Khmelnitskii). Sin embargo, la teoría de FQHE no ha alcanzado el mismo consenso. En algunos aspectos, FQHE es como un IQHE de electrones con un flujo adicional "ligado" a ellos (a través de una interacción efectiva debido a la repulsión de Coulomb); en esta imagen, todo el desorden (impurezas), etc., vuelve a ser crucial. Esto también está relacionado con los estados jerárquicos porque uno puede imaginar vincular más flujo a las excitaciones anónicas y obtener más estados IQHE de ellos. Sin embargo, está claro que dado que el ingrediente básico es la fuerte interacción de Coulomb, sin un tratamiento sistemático (lo anterior es muy ad hoc) es imposible tener confianza en el rango de validez de la teoría. El trabajo en este aspecto está en curso (pero para ser justos, algo estancado --- es lo suficientemente difícil teóricamente hablando que uno realmente está buscando algún avance fundamental en las matemáticas para terminarlo). sin un tratamiento sistemático (lo anterior es muy ad hoc) es imposible confiar en el rango de validez de la teoría. El trabajo en este aspecto está en curso (pero para ser justos, algo estancado --- es lo suficientemente difícil teóricamente hablando que uno realmente está buscando algún avance fundamental en las matemáticas para terminarlo). sin un tratamiento sistemático (lo anterior es muy ad hoc) es imposible confiar en el rango de validez de la teoría. El trabajo en este aspecto está en curso (pero para ser justos, algo estancado --- es lo suficientemente difícil teóricamente hablando que uno realmente está buscando algún avance fundamental en las matemáticas para terminarlo).

Gracias. ¿Podría elaborar (o simplemente dar una referencia) un poco sobre la teoría de escala y Khmelnitskii? No estoy familiarizado con ninguno de los dos.
@Marek: mi conocimiento proviene de mi supervisor, y sospecho que es un poco de naturaleza folklórica. El trabajo de Khmelnitskii es un poco difícil de encontrar en inglés y la mayoría existe en JETP. Referencias que he visto (pero no leído): Muzykanskii y Khmelnitskii, JETP Lett. 62, 76 (1995) y Khmelnitskii, JETP Lett. 38, 552 (1985). Una referencia en inglés es Pruisken, Nucl. física B 235, 277 (1984). El trabajo moderno tiende a proceder a través de un modelo de desorden de teoría de campo o de teoría de réplica, y deriva un modelo no lineal efectivo σ -modelo para el transporte difusivo, ya partir de ahí encontrar una teoría de escalamiento.
Comentario rápido: he visto la imagen de FQHE como IQHE de anyons, pero siempre me parece un poco formal. La física de los dos fenómenos me parece diferente, por ejemplo, el FQHE claramente necesita una muestra muy limpia. En cualquier caso, tendré curiosidad por saber más sobre cuáles son los problemas abiertos en FQHE.
@Moshe R.: Tenga en cuenta que FQHE no es IQHE de anyons --- los anyons solo aparecen como excitaciones. Es formal --- la idea es justificar que tal imagen tiene sentido y predice las excitaciones correctas (digamos), pero no hay "derivación" necesaria para obtenerlo. En la materia condensada, esto no siempre es un problema, muchas cosas son solo conjeturas que funcionan excepcionalmente bien. La mayor limpieza es solo el resultado de que el compuesto IQHE es un poco más frágil; observe que para que la localización de Anderson ocurra en 2D, solo se necesita una muestra lo suficientemente grande con impurezas arbitrariamente pequeñas.
El problema clave con las teorías actuales de FQHE es la falta de una teoría cuantitativa detallada de cómo la interacción produce el nuevo orden --- uno por lo general simplemente plantea el estado y muestra que está en brecha, es decir, a salvo de pequeñas perturbaciones. En la práctica, se podría dirigir la misma crítica a IQHE, que se basa en los argumentos líquidos de Fermi, que tampoco son fundacionalmente rigurosos. Sin embargo, la mayoría de la gente está mucho más feliz de aceptar que las interacciones pueden ser ignoradas por completo, que de alguna manera incorporar parte de la interacción en un orden topológico y descuidar el resto.
@genneth: Pensé que la teoría de Fermi Liquid se hizo más o menos rigurosa (en el sentido de un físico) usando la teoría de grupos de Renormalización. ¿Hay un problema fundamental con ese enfoque?
En cuanto a FQHE como el IQHE de los fermiones compuestos (CF). Creo que hay una especie de "derivación" de esto. Si mal no recuerdo, se parte de la teoría microscópica (fermiones interactuantes, mínimamente acoplados al campo magnético externo). Luego realice una transformación de calibre (singular) y esto "adjunta" (Chern-Simons) "flujos" a cada fermión, y estos son entonces los CF. La primera aproximación es tratar el problema en el nivel de campo medio y considerar que las interacciones entre los CF son débiles, lo que conduce a un campo magnético efectivo más pequeño. Luego considere la fluctuación alrededor del campo medio
perturbativamente y analizar la estabilidad/validez de la aproximación de campo medio. Los CF en el campo magnético efectivo más débil dan lugar a IQHE de CF, lo que da FQHE de electrones con las mesetas correctas. De ninguna manera soy un experto en esto y lo sé muy superficialmente. Así que podría haber algo muy malo con este enfoque. Si mal no recuerdo, Altland & Simons (Teoría de campo de materia condensada) consideran este enfoque brevemente en el capítulo de topología.
@ 4tnemele: la teoría del líquido de Fermi tiene una expansión semicontrolada (a saber, Shankar) en términos de renormalización sobre la superficie de Fermi. Sin embargo, mi punto es que para FQHE tenemos aún menos . Por ejemplo, lo que usted describe (es decir, el accesorio de flujo CS) es lo que quise decir con la explicación "parcial" de la interacción de Coulomb; no es una expansión controlada en ningún sentido. Estoy algo (ejem) familiarizado con Altland & Simons; sí, creo que está ahí, pero sin mucho detalle (al menos en la 1ra edición).

Hay un libro que cubre exactamente las preguntas que hiciste:

Si tiene poco tiempo (o dinero), el libro se basa en su tesis:

Efecto Hall cuántico para tontos
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