¿Por qué hay estados de borde quirales en el efecto hall cuántico?

Aquí hay una explicación que es puramente cuántica.

Una partícula cuántica cargada en un campo magnético está sujeta a la cuantización de Landau . Tomando el campo magnético en el$z$dirección, podemos elegir el ancho de Landau para el vector potencial:

$$\mathbf{A} = B x \hat{y} ~~ \Rightarrow ~~ \mathbf{B} = B \hat{z}.$$ El hamiltoniano en las coordenadas $xy$, ignorando (por ahora) los bordes de la muestra:

$$H = \frac{1}{2m} \left( \mathbf{p} - \frac{e \mathbf{A}}{c}\right)^2 = \frac{1}{2m} \left[ p_x^2 + \left(p_y- m \omega_c x\right)^2\right],$$

dónde$\omega_c = eB/mc$es la frecuencia del ciclotrón.
Después de la separación de variables obtenemos las funciones de onda:

$$\psi(x,y) = f_n ( x- k_y / m \omega_c ) e^{i k_y y},$$

dónde$f_n$son las funciones propias del oscilador armónico simple ($n=0,1,2...$). Los valores esperados de$p_y$y$x$para esta función de onda son$\langle p_y \rangle =k_y$y$\langle x \rangle =k_y / m \omega_c$, y la corriente a lo largo del$y$dirección es proporcional al momento generalizado en esa dirección:

$$\langle I_y \rangle = \frac{-e}{m} \langle p_y - m \omega_c x\rangle = \frac{-e}{m} (k_y - m \omega_c \frac{k_y}{ m \omega_c} )=0.$$

Como era de esperar, obtenemos corriente cero en la mayor parte de la muestra.
Ahora imaginemos que estamos cerca del borde de la muestra en el lado negativo de la$x$eje. Esto significa que la partícula sentirá un potencial de confinamiento.$U(x)$que se parece más o menos a:
Este potencial deformará la función de onda$f_n$a una función de onda que tiene más peso en la dirección positiva de$x$que antes, y luego obtendremos$\langle x \rangle > k_y / m \omega_c$, llevando a:

$$\langle I_y \rangle > 0,$$ es decir, corriente de borde en el positivo $y$dirección. Tenga en cuenta que esta es la misma dirección predicha clásicamente.

Una respuesta corta: ¿Por qué no?

Los estados de HQ no tienen simetría de inversión de tiempo. Entonces, las excitaciones de movimiento a la derecha y las excitaciones de movimiento a la izquierda pueden comportarse de manera diferente, por lo tanto, quirales. Los estados de borde de la mayoría de los estados FQH son muy quirales, en el sentido de que incluso los números de modos de movimiento a la izquierda y modos de movimiento a la derecha son diferentes.

El aislador topológico y el superconductor topológico tienen simetría de inversión de tiempo y sus bordes, hablando exactamente, no son quirales, como los motores de la derecha y los motores de la izquierda tienen exactamente la misma velocidad. Ciertamente, los números de modos de movimiento a la izquierda y modos de movimiento a la derecha son los mismos.

En el nivel fundamental, la física cuántica describe centros de guía interactuantes no conmutativos que satisfacen el álgebra no conmutativa.

$[R^a_i, R^b_j] = -i\delta_{ij}\epsilon^{ab}l_B^2$dónde$l_B$es la longitud magnética,$i,j$etiquetas de partículas,$a,b$etiquetas de dirección 2D.

Esta álgebra fundamental es impar inversa en el tiempo.