¿Qué diferencia interpretativa hay entre definir una función con o sin diferencial como posfactor?

He pensado en esto y buscado respuestas durante mucho tiempo, pero no tengo ningún nombre o etiqueta para este problema, razón por la cual el título largo de esta pregunta.

Me he encontrado con esto muchas veces, pero nunca he encontrado ninguna justificación para esto, es decir, una interpretación o explicación clara, así que aquí hay algunos ejemplos de lo que quiero decir. Sospecho que tienen respuestas diferentes.

I) En, por ejemplo, el libro de Shapiro y Teukolsy Black Holes, White Dwarfs and Neutron Stars (1983), la función de tasa de natalidad de Salpeter para las estrellas se define como

$\psi_s\mathrm{d}\left(\frac{M}{M_\odot}\right) = 2\times10^{-12}\left(\frac{M}{M_\odot}\right)^{-2.35}\mathrm{d}\left(\frac{M}{M_\odot}\right)\mathrm{\ stars\ pc}^{-3}\mathrm{\ yr}^{-1}$

Preguntas: ¿por qué importa que se incluyan esos diferenciales? ¿Por qué hacer que la declaración se vea más desordenada al multiplicar ambos lados de la ecuación con algo que obviamente se cancela? Si es solo para mostrar lo que$\psi_s$depende, entonces tiene más sentido para mí definir la función así:

$\psi_s(M) = 2\times10^{-12}\left(\frac{M}{M_\odot}\right)^{-2.35}\mathrm{\ stars\ pc}^{-3}\mathrm{\ yr}^{-1}$

¿Cuál es (o puede ser) la respuesta?

II) Al definir la ecuación de continuidad para partículas de movimiento browniano en el espacio 1D, tengo una nota de clase que razona de la siguiente manera:

Dada la configuración

         |  n(x,t) |
         |         |    
J(x,t) ---->     ----> J(x + dx, t)
         |         |
         |         |
    ---------------------->
         x        x+dx

Dónde$n(x,t)$es la densidad numérica de partículas entre posiciones$x$y$x + \mathrm{d}x$y$J(x, t)$es el flujo de estas partículas en una posición dada$x$y tiempo$t$. El número de partículas se conserva y se supone que son idénticas y no interactúan entre sí.

En las notas que tengo, la siguiente ecuación se muestra fácilmente como si fuera muy claro por qué se escribió de esta manera:

$n(x, t + \mathrm{d}t)\mathrm{d}x - n(x, t)\mathrm{d}x = - (J(x + \mathrm{d}x, t)\mathrm{d}t - J(x, t)\mathrm{d}t)$

o (multiplicando el menos por el paréntesis)

$n(x, t + \mathrm{d}t)\mathrm{d}x - n(x, t)\mathrm{d}x = J(x, t)\mathrm{d}t - J(x + \mathrm{d}x, t)\mathrm{d}t$

Pregunta: Yo mismo no puedo justificar por qué tiene sentido multiplicar con los diferenciales como están aquí. ¿Cuál es el significado, o más bien la línea de pensamiento que subyace en el resultado de esta ecuación?

No estoy seguro de mi propia respuesta, que es solo mirar las dimensiones de las dos funciones y luego concluir qué unidad debe tener el factor en cada lado para que las dimensiones tengan sentido.

Solo para completar la derivación, reescribiendo la ecuación reemplazando las funciones$n(x, t + \mathrm{d}t)$y$J(x + \mathrm{d}x, t)$con su expansión de Taylor (a primer orden) da

$n(x, t + \mathrm{d}t) = n(x, t) + \frac{\partial n}{\partial t}\mathrm{d}t$,

$J(x + \mathrm{d}x, t) = J(x, t) + \frac{\partial J}{\partial x}\mathrm{d}x$,

que, cuando se inserta en la ecuación original da

$\frac{\partial n}{\partial t}\mathrm{d}t\mathrm{d}x = -\frac{\partial J}{\partial x}\mathrm{d}x\mathrm{d}t$

produciendo así, de nuevo, un factor compartido ($\mathrm{d}t\mathrm{d}x$) en ambos lados de la ecuación que se puede dividir (¿verdad?), y terminamos con la ecuación de continuidad

$\frac{\partial n}{\partial t} = -\frac{\partial J}{\partial x}$

Espero que esta pregunta tenga sentido o al menos le permita sugerir una etiqueta para este tipo de problema que pueda usar para encontrar más información, o mejor, ayuda respondiendo la pregunta aquí.

Salud.