Dirección objetiva del tiempo en la relatividad general

En relatividad general, las coordenadas$x^\mu$ponemos en la variedad son arbitrarios y no necesitan ninguna interpretación física. Por eso se dice que no hay una noción objetiva del tiempo en GR. Sin embargo, al mismo tiempo existe la noción independiente de coordenadas de vectores "temporales", "nulos" y "espaciales". ¿No implica esto necesariamente la existencia de un tiempo objetivo en la dirección del vector "más temporal"?

Para hacer esto más preciso, considere una variedad arbitraria$(M,g_{\mu\nu})$y en ella elige una métrica riemanniana$h_{\mu\nu}$. Considere todos los vectores$v^\mu$satisfactorio$h_{\mu\nu}v^\mu v^\nu=1$(o cualquier constante). Uno de estos vectores,$u^\mu$, minimizará$g_{\mu\nu}v^\mu v^\nu$(usando la convención$g_{\mu\nu}t^\mu t^\nu<0$para vector temporal$t^\mu$) y tomamos este vector "más temporal" como la dirección del tiempo. El campo vectorial$u^\mu(p)$construido de esta manera generará una familia de curvas integrales que parametrizamos usando su longitud de camino. Dado que la magnitud de un vector es independiente de nuestra elección de coordenadas, esta construcción es independiente de las coordenadas y, por lo tanto, representa un flujo de tiempo único y objetivo.

¿Dónde está el error en esta construcción? ¿Es posible que esto simplemente corresponda al tiempo propio de un observador en reposo en un espacio tangente dado, de manera equivalente a cómo el eje del tiempo es único para un marco de referencia dado en la relatividad especial?

Siento que me estoy perdiendo algo fundamental sobre cómo funcionan las coordenadas en la relatividad general.

EDITAR: Mi pregunta no es un duplicado de la pregunta aquí . Estoy preguntando específicamente sobre la definición de una dirección de tiempo única , no simplemente encontrar vectores que sean similares al tiempo (lo cual sería satisfecho por cualquier$v^\mu$para cual$g_{\mu\nu}v^\mu v^\nu<0$).