¿Por qué una métrica pseudo-riemanniana no puede definir una topología?

Es simplemente falso, al menos escrito tal como está.

El punto es que la relación entre la topología y la métrica es más complicada que en el caso de Riemann, donde las bolas geodésicas forman la base de la topología.$^1$.

De hecho, una métrica suave lorentziana (conectada)$g$sobre la variedad suave orientada en el tiempo$M$define una topología, la misma ya presente en$M$si el espacio-tiempo es fuertemente causal.

arreglar un punto$p\in M$y considere todas las curvas (suaves) temporales dirigidas al futuro a través de$p$y denota por$L(\gamma)$la longitud lorentziana de$\gamma= \gamma(\xi)$,$\xi \in [a,b]$.

$$L(\gamma) = \int_a^b \sqrt{|g(\dot{\gamma},\dot{\gamma})|} d \xi$$ Si $q \in M$definir la llamada distancia lorentziana de $q$de $p$como $$\tau(q,p) := \sup \{L(\gamma) \:|\: \mbox{$\gamma$ timelike future-directed from $p$ to $q$}\}$$ Si no hay un futuro temporal dirigido desde $p$a $q$existe, $\tau(q,p) :=0$.

Siguiente definir$I^+(p) := \{q \in M \:|\: \tau(q,p)>0\}$y$I^-(p) := \{q \in M \:|\: \tau(p,q)>0\}$.

Es posible probar que la familia de conjuntos$I(p,q):= I^+(p) \cap I^-(q)$(con el orden cronológico adecuado de los argumentos) es una base de la topología de$M$si el espacio-tiempo es fuertemente causal [Kronheimer y Penrose (1967)]. (Fuertemente causal significa que todo vecindario abierto$U$de cada evento$p\in M$incluye otro barrio abierto$V$de$p$tal que$J^+(r) \cap J^-(s) \subset V$si$r,s \in V$, el espaciotiempo de Minkwski y todos los espaciotiempos globalmente hiperbólicos como el de Kruskal son fuertemente causales).

Este es un resultado bien conocido de la geometría semirriemanniana (Teorema 4.9 en Global Lorentzian Geometry segunda edición 1996 por JK Beem, PE Ehrlich, KL Easley)

ANEXO . Para responder a un comentario a mi respuesta, en vista del resultado citado, la topología inducida por conjuntos$I(p,q)$es metrizable ya que coincide con la topología natural de la variedad$M$visto como una variedad suave independientemente de cualquier estructura (semi)-riemanniana en el mismo, que es metrizable. En particular, si$M$es el espacio-tiempo de Minkowski una distancia que produce dicha topología se puede construir explícitamente:

$$d((t,\vec{x}), (t',\vec{x}')) = ||\vec{x}-\vec{x}'||+c|t-t'|$$ Las bolas de esta distancia son evidentemente los conjuntos $I((t,\vec{x}),(t',\vec{x}'))$. Esta distancia depende evidentemente de la elección del marco de referencia minkowkiano.

---

(1) En una variedad de Riemann conexa$M$cuya métrica se denota por$g$,$d(p,q) = \inf \{ L(\gamma) \:|\: \gamma \mbox{ smooth curve joining $p$ and $q$}\}$dónde

$$L(\gamma) := \int_a^b \sqrt{g(\dot{\gamma},\dot{\gamma})} d \xi$$ es una toma de distancia $M$un espacio métrico. Todas las bolas abiertas $B_\delta(p):=\{ q\in M \:|\: d(p,q)<\delta\}$, variar $p\in M$y $\delta \in (0,+\infty)$, forman una base de la topología ya presente en $M$.