¿Cuáles fueron las razones no tan convincentes para usar la palabra "poder" para conjuntos de poder?

Hasta donde puedo decir, el término Potenzbegriff (powerclass, variación posterior Potenzmenge , powerset) fue introducido por Bernstein a fines de la década de 1890 (Cantor no lo usó en sus artículos). En su disertación de habilitación Untersuchungen aus der Mengenlehre (1901, publicada en 1905) afirma en la introducción (mi traducción):

" La introducción del concepto de powerclass, y la demostración del teorema de equivalencia que se mencionará más adelante, ha permitido ahora llegar a conclusiones que antes solo eran posibles mediante laboriosos rodeos de un cálculo casi elemental. "

La palabra begriff significa literalmente "concepto", y las clases intensionales (que caen bajo un concepto) no se separaron completamente de los conjuntos extensionales hasta Grundzüge der Mengenlehre de Hausdorff (1914), aunque Zermelo y otros operaron con este último antes. El "teorema de equivalencia" ahora se llama teorema de Schröder-Bernstein , y Bernstein da una prueba en el §1 de la disertación. La prueba original se presentó en el seminario de Cantor en Halle en 1897 y no sobrevive (Dedekind dio una prueba en 1887, pero no se publicó, el anuncio de Schröder de 1896 fue de una prueba que aparentemente tenía un defecto). La potencia establecida ( Potenz ) se introduce en §2 de la siguiente manera:

" Si$M$y$N$son dos conjuntos, llamamos conjunto al que -en el sentido de una expresión conocida- contiene todas las combinaciones de elementos de$M$a las clases de$N$, el poder$M^N$($M$elevado a$N$). En cuanto a la aplicación a la suma, multiplicación y clases de potencia de las leyes conmutativas y asociativas, son las mismas que para los números finitos ”.

Entonces, la motivación aparente para Potenz (poder) parece ser comúnmente asumida, por analogía con elevar números a poderes. Bernstein no utiliza$2^N$generalmente, o llama a la clase de todos los subconjuntos powerclass. pero el escribe$2^{\aleph_\alpha}$, que significa cardinalidad de conjunto ( Mächtigkeit , a menudo también traducido como "poder") en §9, cuando se discute la hipótesis del continuo.