Historia de 0∈N0∈N0 \in \mathbb N.

Para los tiempos modernos:

• Richard Dedekind , Was sind und was sollen die Zahlen? (1888), página 20:

§71. Definición . Un sistema$N$[ Un sistema $N$] se dice que es simplemente infinito cuando existe una transformación similar$\phi$de$N$en sí mismo tal que$N$aparece como cadena de un elemento no contenido en$\phi(N)$. Llamamos a este elemento, que denotaremos en lo que sigue con el símbolo$1$, el elemento base de N y digamos el sistema simplemente infinito$N$se pone en orden por esta transformación$\phi$.

[...]

§73. Definición . Si en la consideración de un sistema simplemente infinito$N$puesto en orden por una transformación$\phi$[...] estos elementos [son] llamados números naturales o números ordinales o simplemente números , y el elemento base$1$se llama número base de la serie numérica $N$.

• Giuseppe Peano , Arithmetices Principia Novo Methodo Exposita (1889), página 1:

Axiomas

1. $1 \in N$

• Gottlob Frege , Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl (1884):

§74. Nulo [$0$] ist die Anzahl, welche dem Begriffe "sich selbst ungleich" zukommt.

• Bertrand Russell , Los principios de las matemáticas (1903):

§120. Los tres indefinibles de Peano son$0$, entero finito y sucesor de . […] Las proposiciones primitivas de Peano son entonces las siguientes.

(1)$0$es un número

• Mario Pieri , Sopra gli assiomi aritmetici (1907):

$\gamma.$Hay al menos un número que no es sucesor de ningún número. [...]

$f.$El número$0$que no es el sucesor de ningún número [...] se le da el nombre de cero .

Para Bourbaki, ver:

• Nicolas Bourbaki, Théorie des ensembles (2ª ed. 1970), Capítulo III, §3 :

1. El cardenal de un conjunto

en nota$0$el cardenal$\text {Card} (\emptyset)$.

Originalmente el cero no se consideraba un número natural. De hecho, es uno de los números más antinaturales. Desde que la palabra "progression naturelle" fue introducida por Chuquet, en 1484 y "número natural" por Emmerson en 1763, siempre se ha abordado la secuencia que comienza con 1. "El número natural, definido como los números 1, 2, 3, 4, 5, etc., aparece en la Enciclopedia Británica de 1771 en el artículo Logaritmo". http://jeff560.tripod.com/n.html Cantor, por ejemplo (aunque rara vez usa esta redacción pero prefiere "enteros" (ganze Zahlen) menciona la "secuencia natural de números" (natürliche Zahlenreihe):$1, 2, 3, ...,\nu , ...$" en Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten Math. Annalen 15, (1879). También Peano comenzó con 1 en sus primeros trabajos. Luego cambió a 0 como muchos otros. (Ver la respuesta de Mauro Allegranza)

¿De dónde vienen estas convenciones? ¿Cuál fue el motivo de este cambio? Cantor lo explicó en una carta a Dedekind del 28 de julio de 1899: La secuencia de los números ordinales$0, 1, 2, 3, ... ,\omega_0, \omega_0 + 1, ..., \gamma,..$tiene la propiedad de que todo número es del tipo ordinal de los números precedentes. Sin incluir el cero, esta propiedad no se cumpliría para la parte finita.

Creo que esta es la razón.