La teoría ϕ6−ϕ6−\phi^6 no renormalizable como teoría de campo efectiva

Hay un poco de confusión aquí.

Siempre que trabaje con un QFT, primero debe poder definirlo . No basta con escribir integrales divergentes y afirmar que corresponden a amplitudes de transición. Esto no tiene sentido.

Así que supongo que lo que quiere decir es: definir una teoría con un límite de escala de momento explícito$\Lambda$tal que todas las integrales son finitas. Considerar$\Lambda$tan físico como otras constantes como la masa$m$y la constante de acoplamiento$\lambda$.

Hay un montón de problemas con esta definición. Como por ejemplo,

• No está claro cómo imponer restricciones de momento consistentes en las integrales de bucle, ya que podemos pasar a diferentes variables de integración de momento de bucle para las que se deben aplicar diferentes restricciones. Tenga en cuenta que no le importa esta sutileza cuando$\Lambda \gg p$.
• La teoría con un límite de impulso no es invariante de Lorentz. Simplemente no lo es. Sin embargo, puede ignorar estas violaciones de Lorentz cuando$\Lambda \gg p$.

La lista puede continuar, pero creo que ya he hecho mi punto. Pero digamos que de alguna manera encontramos respuestas relativamente satisfactorias a todas las preguntas anteriores. ¿Ahora que?

1. ¿Esta teoría aún requiere renormalización? ¿Si es así por qué?

¡Sí, lo hace! La renormalización no se trata de deshacerse de los infinitos, y no se trata de deshacerse de lo no físico$\Lambda$(aunque logra ambos objetivos mientras tanto). Se trata de dar sentido a los resultados que da su teoría.

Como, por ejemplo, le gustaría dar una interpretación de partículas a su teoría, con una$S$-matriz correspondiente a la dispersión de partículas. ¿Qué necesita para darle a su teoría una interpretación de partículas? Uno de los requisitos es que la función de 2 puntos tenga un polo cuando$p^2 = M^2$con residuo 1. Esto se deriva directamente de la normalización de estados, y le permite hablar sobre partículas de masa que interactúan$M$que se supone que describe su teoría.

Si calcula esta función de 2 puntos en algún orden de ciclo, encontrará que tanto la ubicación como el valor del polo no son$m$y$1$como cabría esperar ingenuamente, pero depende de$\Lambda$. Pero, ¿qué significa? Significa que tus partículas son de masa.$M = M(m, \lambda, \Lambda)$y son generados por un operador Fock-space asociado al observable físico$Z(m, \lambda, \Lambda) \cdot \phi$, no solo el operador de campo$\phi$.

Una vez más, la renormalización se trata de reinterpretar las predicciones en términos de partículas que interactúan .

2. En caso afirmativo, en lugar de decir$\boldsymbol{\phi^6}$para ser una teoría no renormalizable, ¿no deberíamos decir que (i) es renormalizable a baja energía pero (ii) no renormalizable a altas energías?

Lo que sucede es que las funciones de correlación de mayor valencia se vuelven altamente dependientes de$\Lambda$incluso en el$\Lambda \gg p$régimen. Físicamente, su teoría se vuelve patológicamente sensible a las fluctuaciones de pequeña escala.

Con teorías renormalizables podemos decir que$\Lambda$es muy grande y corresponde al límite del dominio de aplicabilidad de nuestra teoría. Pero los detalles exactos de este límite no son relevantes para la física de largo alcance: simplemente podemos adoptar el valor límite para las correlaciones de mayor valencia.

En caso de$\phi^6$en$4d$sin embargo, este no es el caso. En cambio, tenemos el siguiente comportamiento no renormalizable :

Las propiedades de largo alcance de su teoría dependen explícitamente de los detalles del procedimiento de corte. Puede ser el valor de$\Lambda$, la forma en que resuelve la ambigüedad de corte en las variables de integración de los momentos del ciclo, las masas de los campos del regularizador de Pauli-Villars, etc. El hecho clave es que: sus resultados dependen de algo para lo que realmente no puede decir cómo funciona y si es físico o no. Eso es lo malo de la no renormalizabilidad.

Con las teorías no renormalizables, puede modificar la teoría para obtener las predicciones que desee simplemente cambiando un poco el mecanismo de corte. No hay mucho poder predictivo allí.

ACTUALIZACIÓN: está bien, admito que no es 100% cierto. Estaba tratando de hacer un punto en el contexto de HEP, pero una vez que dejas de lado tus ambiciones de describir procesos arbitrarios de alta energía, también puedes hacer algo útil con teorías no renormalizables.

Por ejemplo, puede corregir el orden de la teoría de la perturbación$k$ antes de la renormalización, y luego simplemente determinar los valores de los contratérminos de los experimentos. Con las teorías renormalizables, esto podría hacerse una vez , es decir, usando un número finito fijo de contratérminos independientes del orden de la teoría de la perturbación. Pero las teorías no renormalizables requieren más y más retoques y ajustes con un orden creciente.

Por supuesto, uno puede afirmar que esto está bien, ya que la expansión de la perturbación es solo una serie asintótica y, por lo tanto, incluso las teorías renormalizables no pueden resolverse con una precisión arbitraria a priori utilizando la teoría de la perturbación. Y probablemente sea cierto.

Hay otra propiedad de las teorías no renormalizables que tiene que ver con el flujo de grupo de renormalización wilsoniano. Los acoplamientos efectivos utilizados en la teoría de la perturbación explotan en el régimen ultravioleta, lo que hace que todo el concepto de la teoría de la perturbación carezca de sentido. Así terminamos con transiciones de fase en el régimen de alta energía que no podemos describir con la teoría de la perturbación.

También vale la pena mencionar que tales transiciones de fase no son específicas de las teorías no renormalizables. Como ejemplo útil, QED (Quantum Electrodynamics), aunque renormalizable, tiene una transición de fase ultravioleta (el problema del polo de Landau). Las teorías renormalizables sin estas transiciones de fase se denominan asintóticamente libres.

Y la libertad asintótica, junto con la renormalizabilidad, es suficiente para determinar que una teoría HEP puede usarse para hacer predicciones sensatas hasta cualquier energía asociada con el límite de su dominio de validez. Esto se debe a que cuanto más se adentra en el UV, menor se convierte en el acoplamiento, lo que hace que la expansión asintótica sea una mejor aproximación para un orden aún mayor en la teoría de la perturbación (recuerde que cuanto más cerca está el acoplamiento de cero, más órdenes de la teoría de la perturbación tenemos). puede confiar sin preocuparse por la explosión de la expansión asintótica?).