Significado de la aproximación cos(ϕ)=ϕ22e−12⟨ϕ2⟩cos⁡(ϕ)=ϕ22e−12⟨ϕ2⟩\cos(\phi)=\frac{\phi^2}{2}\mathrm{e}^ {-\frac{1}{2}\langle{\phi^2}\rangle} en una teoría de campos?

Lo encontré fácil al final. Simplemente porque$\langle \phi^2 \rangle$es ilimitado, uno tiene que expandir el operador normalmente ordenado en lugar del original que contiene un fondo infinito. Aquí, la suposición implícita es que hacemos el promedio sobre un hamiltoniano armónico, lo que permite el uso de la fórmula de Debye-Waller en la segunda igualdad debajo

$$\langle \cos\phi \rangle = \frac{\langle\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\rangle + \langle\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\phi}\rangle}{2} = \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\langle \phi^2 \rangle} = 1-\frac{1}{2}\langle \phi^2 \rangle + \frac{1}{2!}\frac{1}{4}\langle \phi^2 \rangle^2 - \frac{1}{3!}\frac{1}{8}\langle \phi^2 \rangle^3 + \cdots$$ Y también tenemos el sencillo $$:\cos\phi: = 1-\frac{1}{2!}:\phi^2: + \frac{1}{4!}:\phi^4: + \cdots$$ Por otro lado, usando el teorema de Wick, tenemos $$\cos\phi = 1 - \frac{1}{2!} \phi^2 + \frac{1}{4!} \phi^4 = 1 - \frac{1}{2!} (:\phi^2:+\langle\phi^2\rangle) + \frac{1}{4!} (:\phi^4:+6\langle\phi^2\rangle:\phi^2:+3\langle\phi^2\rangle^2) + \cdots$$ Y es fácil comprobar que $\cos\phi=:\cos\phi: \langle \cos\phi \rangle$. Uno luego expande $:\cos\phi:$.
Sin embargo, todavía me pregunto dónde se ha ido el signo menos que falta....???