Fraccionamiento y la estructura del grupo de rotación de espín?

Question

Fraccionamiento y la estructura del grupo de rotación de espín?

Física
teoría de grupos
giro cuántico
materia Condensada
orden topológico
propiedades emergentes

kai li

Como sabemos, los fenómenos de fraccionamientos en la física de la materia condensada son fantásticos, como espín fraccional, carga fraccional, estadística fraccional, .... Y un punto clave es que las cuasipartículas deben crearse o aniquilarse por pares .

Por otro lado, considere los grupos $SU(2)$ y $SO(3)$ , son los grupos de rotación para espines semienteros y enteros , respectivamente. Y sabemos que $SU(2)/\mathbb{Z}_2=SO(3)$ , lo que significa que cada elemento en $SO(3)$ se puede ver como un par $(U,-U)$ , dónde $U\in SU(2)$ (de otro modo puesto: el coset $\left\{U, -U\right\} \subset SU(2)$ en el grupo del cociente $SU(2)/\mathbb{Z}_2$ es nuestro elemento en $SO(3)$ ).

Entonces, me pregunto si existe alguna conexión subyacente entre la naturaleza del par de cuasiparticals en la fase topológica en el lado de la física y la estructura del par que se relaciona $SU(2)$ y $SO(3)$ en el lado de las matemáticas?

Muchas gracias.

Selene Routley

Querido K-boy: Agregué una frase sobre el coset

{U, - U}

$\left\{U, -U\right\}$ - solo otra forma de decir "un par en SU (2)", que algunos lectores pueden encontrar un poco obtuso. Es probable que los teóricos de grupos sepan de lo que está hablando, pero explicarlo en detalle podría dejarlo más claro para el resto de nosotros. Bórralo si sientes que cambia el sentido, pero es bueno si una audiencia más amplia puede entender la pregunta, incluso si no pueden responderla.

Everett usted

El fenómeno que mencionaste se llama "fraccionalización de simetría" ( arxiv.org/abs/1012.4470 ), es decir, la simetría del sistema es

S O (3)

$SO(3)$ , pero la cuasipartícula lleva simetría fraccionada (o representación proyectiva)

S U (2)

$SU(2)$ . Este fenómeno pertenece al orden topológico enriquecido por simetría (SET), clasificado (parcialmente) por el grupo cohomology

H^{2} (S O (3), Z_{2}) = Z_{2}

$H^2(SO(3),\mathbb{Z}_2)=\mathbb{Z}_2$ , lo que significa que las cuasipartículas no triviales se pueden trivializar en pares.

kai li

@Everett You, gracias por tu comentario. ¿Qué pasa con la fase AKLT para la cadena spin-1? Es una fase topológica protegida por simetría, ¿y también es una fase SET?

Everett usted

@K-boy Sí, la física es muy parecida a la cadena AKLT (y la cadena AKLT es un SPT, no una fase SET). Pero cuando hablas de "fraccionamiento", te refieres a que algo se rompe y sus piezas deben ser DESCONFINADAS. En la cadena AKLT, los objetos de espín-1/2 están confinados (como la teoría de calibre 1+1D siempre está confinada) al final de la cadena y no pueden moverse libremente en el sistema. Además, si cierra la cadena AKLT, entonces no existen excitaciones de espín-1/2 en la mayor parte. Por lo tanto, parece dividir el espín 1 en espín 1/2, pero luego se limitan de nuevo al espín 1, y no deberíamos llamarlo fraccionamiento.

Everett usted

@K-boy Entonces, la "fraccionalización de simetría" en realidad significa que no solo puede dividir el giro 1 en giros 1/2, sino que también las excitaciones de giro 1/2 se definen en masa. Solo en este caso, lo llamamos fraccionamiento "exitoso". Y tal escenario solo se puede lograr en 2+1D o dimensiones superiores. En 2+1D, Yao, Fu y Qi (arxiv.org/abs/1012.4470) construyeron un estado líquido de bucle AKLT con modelos solucionables exactos. En ese estado, las excitaciones de espín-1/2 desconfinadas surgen en el sistema de espín-1, y el

Z_{2}

$\mathbb{Z}_2$ topo El orden coexiste con el fraccionamiento. Así que en realidad es una fase SET.

Everett usted

@ K-boy De hecho, todo fraccionamiento "exitoso" debe venir junto con un orden topológico, de lo contrario, no puede medir los grados de libertad no físicos que surgen en el fraccionamiento. Entonces no es difícil entender por qué el fraccionamiento de simetría en realidad es SET.

Respuestas (1)

Fraccionamiento y la estructura del grupo de rotación de espín?

Querido K-boy: Agregué una frase sobre el coset $\left\{U, -U\right\}$ - solo otra forma de decir "un par en SU (2)", que algunos lectores pueden encontrar un poco obtuso. Es probable que los teóricos de grupos sepan de lo que está hablando, pero explicarlo en detalle podría dejarlo más claro para el resto de nosotros. Bórralo si sientes que cambia el sentido, pero es bueno si una audiencia más amplia puede entender la pregunta, incluso si no pueden responderla.
El fenómeno que mencionaste se llama "fraccionalización de simetría" ( arxiv.org/abs/1012.4470 ), es decir, la simetría del sistema es $SO(3)$ , pero la cuasipartícula lleva simetría fraccionada (o representación proyectiva) $SU(2)$ . Este fenómeno pertenece al orden topológico enriquecido por simetría (SET), clasificado (parcialmente) por el grupo cohomology $H^2(SO(3),\mathbb{Z}_2)=\mathbb{Z}_2$ , lo que significa que las cuasipartículas no triviales se pueden trivializar en pares.
@Everett You, gracias por tu comentario. ¿Qué pasa con la fase AKLT para la cadena spin-1? Es una fase topológica protegida por simetría, ¿y también es una fase SET?
@K-boy Sí, la física es muy parecida a la cadena AKLT (y la cadena AKLT es un SPT, no una fase SET). Pero cuando hablas de "fraccionamiento", te refieres a que algo se rompe y sus piezas deben ser DESCONFINADAS. En la cadena AKLT, los objetos de espín-1/2 están confinados (como la teoría de calibre 1+1D siempre está confinada) al final de la cadena y no pueden moverse libremente en el sistema. Además, si cierra la cadena AKLT, entonces no existen excitaciones de espín-1/2 en la mayor parte. Por lo tanto, parece dividir el espín 1 en espín 1/2, pero luego se limitan de nuevo al espín 1, y no deberíamos llamarlo fraccionamiento.
@K-boy Entonces, la "fraccionalización de simetría" en realidad significa que no solo puede dividir el giro 1 en giros 1/2, sino que también las excitaciones de giro 1/2 se definen en masa. Solo en este caso, lo llamamos fraccionamiento "exitoso". Y tal escenario solo se puede lograr en 2+1D o dimensiones superiores. En 2+1D, Yao, Fu y Qi (arxiv.org/abs/1012.4470) construyeron un estado líquido de bucle AKLT con modelos solucionables exactos. En ese estado, las excitaciones de espín-1/2 desconfinadas surgen en el sistema de espín-1, y el $\mathbb{Z}_2$ topo El orden coexiste con el fraccionamiento. Así que en realidad es una fase SET.
@ K-boy De hecho, todo fraccionamiento "exitoso" debe venir junto con un orden topológico, de lo contrario, no puede medir los grados de libertad no físicos que surgen en el fraccionamiento. Entonces no es difícil entender por qué el fraccionamiento de simetría en realidad es SET.

David Bar Moshé · Answer 1

El grupo de rotaciones de un $N$ -el espacio dimensional es $SO(N)$ . Al ser una simetría de la naturaleza, los sistemas clásicos se transforman según las representaciones de $SO(N)$ .

La mecánica cuántica, por otro lado, permite sistemas que se transforman de acuerdo con los grupos universales que cubren las simetrías clásicas. Esta es la razón por la que obtenemos en la teoría cuántica tridimensional representaciones de $SU(2)$ que no son verdaderas representaciones de $SO(3)$ , (las representaciones de espín medio entero). Más generalmente, tenemos, en la teoría cuántica, representaciones de $Spin(N) = SO(N) \ltimes \mathbb{Z}_2$ .

Sin embargo, en el caso de dos dimensiones espaciales, $SO(2) \cong U(1)$ , y la cubierta universal de $U(1)$ no es $Spin(2)$ sino más bien $\mathbb{R}$ .

En contraste con $SO(2)$ o $U(1)$ que permiten valores discretos del espín bidimensional: $u = e^{i n \theta}$ $n \in \mathbb{Z}$ , $0\le \theta <2 \pi$ , el revestimiento universal $\mathbb{R}$ permite un continuo de valores de espín.

Esta es la razón básica de la fraccionación del espín en dos dimensiones.

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kai li

Selene Routley

Everett usted

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Everett usted

Everett usted

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David Bar Moshé

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