¿Puede la ecuación de conservación de energía ser vista como una ecuación de movimiento?

Question

¿Puede la ecuación de conservación de energía ser vista como una ecuación de movimiento?

usuario291161

Después de todo, la ecuación de conservación de energía es una ecuación diferencial que se puede resolver para encontrar el movimiento, pero esto nunca se hace. Siempre se considera ecuación de movimiento solo la derivada temporal de la ecuación de conservación de energía. ¿Por qué? ¿Es más sencillo? Considere, por ejemplo, el sistema resorte-masa. puedo escribir

mi = \frac{1}{2} metro [X^{'} (t)]^{2} + \frac{1}{2} k [X (t) - \bar{X}]^{2}

$E= \frac{1}{2} m [x'(t)]^2 + \frac{1}{2} k [ x(t) - \bar{X}]^2$ Esta es una ecuación diferencial resuelta por

X (t) = \bar{X} + \sqrt{\frac{2 mi}{k}} pecado ({pecado}^{- 1} ((X_{0} - \bar{X}) \sqrt{\frac{k}{2 mi}}) + \sqrt{\frac{k}{metro}} t)

$x(t) = \bar{X} + \sqrt{\frac{2E}{k}} \sin \left( \sin^{-1} \left( (x_0 - \bar{X}) \sqrt{\frac{k}{2E}} \right) +\sqrt{\frac{k}{m}} t \right)$ No tenemos la posición en función de

x_{0}

$x_0$ y

v_{0}

$v_0$ , pero en función de

x_{0}

$x_0$ y

E

$E$ , es lo mismo.

Siendo más generales, considere $E=\frac{1}{2}m\dot{x}^2 + U$ . Si hago derivadas temporales, si $\dot{x} \neq 0$ y explotando $F=-\frac{dU}{dx}$ puedo escribir $m \ddot{x} = F$ . También se puede hacer lo contrario: la $m \ddot{x} = F$ puede ser escrito $m \frac{dv}{dt} + \frac{dU}{dx} = 0$ . Integrando tenemos $m\int v dv + U =$ constante: llamar $E$ la constante y el trabajo está hecho. ¿Son la ecuación de conservación de energía y la ecuación de movimiento sustancialmente equivalentes de que hay alguna razón para no usar la ecuación de conservación como ecuación de movimiento?

AlgúnUsuario

¿Qué quieres decir con que "nunca se hace"? Escribir la conservación de la energía, separar variables e integrar es la forma en que mayormente he visto hacer la resolución del problema de Kepler, solo para dar un ejemplo canónico. La conservación de energía es una ecuación de movimiento porque te permite derivar el movimiento del sistema. Es posible que necesite otras ecuaciones si tiene más grados de libertad, por supuesto.

Triático

Esa es básicamente la raíz del formalismo hamiltoniano, que usa la energía total de un sistema para encontrar las ecuaciones de movimiento.

eli

si se conserva la energía, se obtiene la ecuación de movimiento con

\frac{d E}{d t} = 0

$\dfrac{dE}{dt}=0$

Respuestas (4)

¿Puede la ecuación de conservación de energía ser vista como una ecuación de movimiento?

¿Qué quieres decir con que "nunca se hace"? Escribir la conservación de la energía, separar variables e integrar es la forma en que mayormente he visto hacer la resolución del problema de Kepler, solo para dar un ejemplo canónico. La conservación de energía es una ecuación de movimiento porque te permite derivar el movimiento del sistema. Es posible que necesite otras ecuaciones si tiene más grados de libertad, por supuesto.
Esa es básicamente la raíz del formalismo hamiltoniano, que usa la energía total de un sistema para encontrar las ecuaciones de movimiento.
si se conserva la energía, se obtiene la ecuación de movimiento con $\dfrac{dE}{dt}=0$

usuario256872 · Answer 1

Tienes razón en que la conservación de la energía nos da ecuaciones de movimiento.

Sin embargo, cada vez que esto funcione, observe que impone algunas restricciones. En su caso, impuso que el movimiento es unidimensional. Note que la conservación de la energía le da 1 ecuación. Pero, a veces, necesitamos un sistema de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, considere un bloque sobre un plano inclinado sin fricción sobre un suelo sin fricción. Tanto el bloque como el plano inclinado se moverán, por lo que una ecuación es insuficiente.

La energía total de un sistema cerrado es en realidad el hamiltoniano, $\mathcal H = T+U$ , y puedes encontrar las ecuaciones de movimiento usando la mecánica hamiltoniana .

usuario297187 · Answer 2

Sí, las ecuaciones de conservación de energía y la segunda ley de Newton esencialmente pueden resolverse para producir las ecuaciones de movimiento para sistemas en los que las fuerzas involucradas son todas fuerzas conservativas. (Esto es lo mismo que requerir que se pueda definir una energía potencial). Un ejemplo de una fuerza no conservativa es la fuerza de fricción.

Como ha descubierto, puede reescribir las ecuaciones de movimiento en términos de una variedad de términos de condiciones iniciales diferentes, y para cualquier problema en particular, generalmente se hace de tal manera que las ecuaciones parezcan más "intuitivas", lo que varía según el problema. al problema, y honestamente de persona a persona. En cuanto a qué ecuación es más fácil de resolver para obtener la ecuación de movimiento, nuevamente, varía de un problema a otro.

usuario1379857 · Answer 3

La conservación de la energía por sí sola solo puede usarse para resolver el movimiento de una partícula en una dimensión espacial. Si tienes más dimensiones espaciales, sabiendo $\tfrac{1}{2} m v^2$ no necesariamente le dice la dirección de $\vec{v}$ . En el problema de Kepler, tienes que usar otras simetrías para resolver esto. Primero se limita a un plano 2D y luego usa la conservación del momento angular también para precisar $\vec{v}$ . Entonces, para el problema de Kepler (movimiento orbital elíptico) solo pudimos resolver el movimiento de esta manera porque teníamos tantas cantidades conservadas (energía y momento angular) como dimensiones. Otra forma de decir esto es que el problema de Kepler es "integrable", es decir, tiene suficientes cantidades conservadas para resolver el movimiento fácilmente. En 1D, todo es integrable. Sin embargo, para dimensiones más altas y potenciales arbitrarios $V(\vec{x})$ este no será el caso.

marca_campana · Answer 4

Para resumir lo que dice el OP. Tomando $E(x, \dot{x}, t)$ , la energía en una dependencia general de posición, velocidad y tiempo. Si tomamos la derivada total respecto al tiempo:

\begin{matrix} (1) & \frac{d mi}{d t} = \frac{\partial mi}{\partial X} \dot{X} + \frac{\partial mi}{\partial \dot{X}} \ddot{X} + \frac{\partial mi}{\partial t} \end{matrix}

$\frac{dE}{dt} = \frac{\partial E}{\partial x}\dot{x} + \frac{\partial E}{\partial \dot{x}} \ddot{x} + \frac{\partial E}{\partial t} \tag{1}$ Si el sistema es conservativo y la energía no depende explícitamente del tiempo tenemos:

\begin{matrix} (2) & \frac{\partial mi}{\partial X} \dot{X} + \frac{\partial mi}{\partial \dot{X}} \ddot{X} = 0 \end{matrix}

$\frac{\partial E}{\partial x}\dot{x} + \frac{\partial E}{\partial \dot{x}} \ddot{x} = 0 \tag{2}$ Puede escribir la energía en el caso de la fuerza conservativa como una suma de energía cinética, cuadrática en velocidad y energía potencial.

\begin{matrix} (3) & mi = {mi}_{k i norte} ({\dot{X}}^{2}) + tu (X) \end{matrix}

$E = E_{kin}(\dot{x}^2) + U(x) \tag{3}$ Usando (2) y (3):

\begin{matrix} (4) & metro \dot{X} \ddot{X} + \frac{\partial tu}{\partial X} \dot{X} = 0 \end{matrix}

$m\dot{x}\ddot{x} + \frac{\partial U}{\partial x}\dot{x} = 0 \tag{4}$ Tomando

\dot{x}

$\dot{x}$ no igual a cero, y dividiendo por él.

\begin{matrix} (5) & metro \ddot{X} = - \frac{\partial tu}{\partial X} \end{matrix}

$m\ddot{x} = - \frac{\partial U}{\partial x} \tag{5}$ Esa es exactamente la ecuación de movimiento en 1-D, para la fuerza conservativa, donde puedes obtener la fuerza del gradiente (en 1-D, derivada simple) de una función llamada energía potencial.

Cuando la energía es una primera integral y es un problema unidimensional, sabemos toda la información que necesitamos saber. Si la energía es una constante de movimiento es constante a lo largo de la trayectoria, entonces la constancia de la energía es una restricción que permite escribir las soluciones. Toda esta conversación se parece a la formulación hamiltoniana de la mecánica.

¿Puede la ecuación de conservación de energía ser vista como una ecuación de movimiento?

usuario291161

AlgúnUsuario

Triático

eli

Respuestas (4)

usuario256872

usuario297187

usuario1379857

marca_campana

¿Puede una fuerza en un sistema clásico explícitamente dependiente del tiempo ser conservativa?

Ejemplo donde el hamiltoniano H≠T+V=EH≠T+V=EH \neq T+V=E, pero se conserva E=T+VE=T+VE=T+V

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