¿Por qué los objetos "caen" a lo largo de las líneas geodésicas del espacio-tiempo?

Primero, solo una partícula de prueba "cae" a lo largo de una geodésica. Una partícula de prueba es un objeto idealizado no solo en reposo, sino que tampoco contribuye a la curvatura del espacio-tiempo (sin masa, sin energía). Una manzana puede considerarse como una partícula de prueba en un sistema que incluye a la tierra, pero es una simplificación, ya que el espacio-tiempo general está determinado por la dinámica de todos los objetos que supuestamente viven "en" él; ver esta respuesta mía relacionada .

Ahora bien, un objeto masivo también seguiría una geodésica, si tomamos en cuenta este objeto en el propio espacio-tiempo considerando cómo él mismo distorsiona el espacio-tiempo. Vea esta pregunta : como dice John Rennie allí, es una cuestión de terminología. El punto principal que quiero resaltar aquí es que el espacio-tiempo no es un trasfondo . No existe un "tejido" de espacio-tiempo.

En segundo lugar, y como afirmas correctamente en la pregunta, una geodésica no es una trayectoria puramente espacial, es una curva de 4 dimensiones, por lo que en realidad es engañoso pensar en "caer a lo largo" de una geodésica, porque el aspecto dinámico de "caer " ya es parte de la propia geodésica. Una geodésica representa la línea universal de una partícula de prueba y, como tal, es estática: rastrea la posición del objeto en el sentido más generalizado, en todas las posibles descomposiciones relativas al observador en el espacio y el tiempo del espacio-tiempo unificado en el que vive. En otras palabras, dice dónde está la partícula en cualquier momento de una manera que es independiente de cualquier observador, de una manera absoluta.

Esto significa que "caer" a lo largo de una geodésica es simplemente equivalente a "estar en algún lugar" para un objeto relativista. No hay nada que obligue a un objeto a seguir una geodésica, una geodésica simplemente dice cuándo/dónde está un objeto, durante toda su existencia, una existencia durante la cual nada interfiere con su posición/momento (nada excepto la gravedad, pero precisamente porque la gravedad es reemplazada por la geometría en la reactividad general, equivale a una no interacción; vea las respuestas a esta pregunta para una discusión relacionada con el principio de equivalencia).

En resumen, una geodésica (temporal) es una afirmación geométrica sobre la inercia: ¿dónde estás cuando no haces nada y nada te afecta? En una geodésica.

En una variedad curva, como el espacio-tiempo en GR (relatividad general), una geodésica es una curva seguida por una partícula que no interactúa (caída libre), ya sea masiva o sin masa (fotón). Es la extensión del concepto de línea recta de SR (relatividad especial) como en el espacio-tiempo plano de Minkowski.
Para averiguar por qué se describe que los objetos caen, consideremos las coordenadas cartesianas en el espacio-tiempo de Minkowski. Incluso si una partícula masiva está en reposo, su coordenada de tiempo no se detiene, por lo que la trayectoria es una línea recta, paralela al eje del tiempo. Si la partícula se mueve con velocidad uniforme la línea recta presentará una inclinación. En un espacio-tiempo curvo, la línea de universo de una partícula tiene una forma menos simple, pero describe un camino de todos modos.
En cuanto a los otros puntos relacionados con la representación pictórica del tejido del espacio-tiempo, probablemente se trate de una visión artística.