¿Gravedad de curvatura y una manzana que cae? [duplicar]

La trayectoria en el espacio-tiempo seguida por un objeto en movimiento libre viene dada por la ecuación geodésica :

$${d^2 x^\mu \over d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\beta} {dx^\alpha \over d\tau} {dx^\beta \over d\tau} = 0 \tag{1}$$

Ahora bien, esto se ve absolutamente horrible, pero es mucho más simple de lo que parece.

La variable$x$es un vector que da una posición en el espacio-tiempo. Entonces si usamos$x$,$y$y$z$por la posición en el espacio y$t$para la posición en el tiempo entonces el vector$\vec{x}$tiene componentes$(t, x, y, z)$. El superíndice, por ejemplo$x^\mu$, no es una potencia sino que nos dice qué componente es. Entonces$x^0$sería$t$,$x^1$sería$x$,$x^2$sería$y$y$x^3$sería$z$.

La variable$\tau$se llama el tiempo propio , y es el tiempo que se muestra en un reloj llevado por el objeto en movimiento. Es decir, si fueras tú quien se moviera a través del espacio-tiempo$\tau$es solo la hora que se muestra en su reloj de pulsera.

Entonces la expresión$d^2 x^\mu/d\tau^2$es solo una aceleración, por ejemplo, cuando$\mu=2$es solo$d^2y/d\tau^2$o la aceleración en el$y$dirección. Del mismo modo la expresión$dx^\mu/d\tau$es una velocidad, entonces cuando$\mu=3$es solo$dz/d\tau$o la velocidad en el$z$dirección.

los simbolos$\Gamma^\mu_{\alpha\beta}$se llaman símbolos de Christoffel , y básicamente describen cómo se curva el espacio-tiempo. En el espacio-tiempo plano, es decir, sin gravedad, los símbolos de Christoffel son todos cero$^1$. En espaciotiempos curvos, los símbolos de Christoffel son distintos de cero.

Y ahora estamos listos para irnos. Veamos qué sucede si sueltas tu manzana en un espacio-tiempo plano. Para el espacio-tiempo plano, los símbolos de Christoffel son cero y la ecuación (1) se convierte en:

$${d^2 x^\mu \over d\tau^2} = 0$$

y esto es realmente cuatro ecuaciones, una para cada valor de$\mu$:

$$\begin{align} {d^2 t \over d\tau^2} &= 0 \\ {d^2 x \over d\tau^2} &= 0 \\ {d^2 y \over d\tau^2} &= 0 \\ {d^2 z \over d\tau^2} &= 0 \end{align}$$

Entonces, lo que esto nos dice es que la aceleración en todas las direcciones es cero. En otras palabras, la manzana se queda donde está. Y, por supuesto, eso es bastante correcto. Si estás flotando en el espacio lejos de cualquier masa y sueltas la manzana, se quedará donde está.

Un breve aparte antes de pasar a lo que sucede en el espacio-tiempo curvo. Usted se estará preguntando qué diablos$d^2t/d\tau^2$es. Bueno, la coordenada de tiempo$t$es lo que medimos mientras miramos la manzana y la coordenada del tiempo$\tau$es lo que mide la manzana en su reloj de pulsera. Si la manzana es estacionaria con respecto a nosotros, la$t$y$\tau$son lo mismo. Pero si la manzana se mueve habrá dilatación del tiempo y$t$y$\tau$no será lo mismo. la velocidad $dt/d\tau$es solo la dilatación del tiempo, y la aceleración $d^2t/d\tau^2$es la tasa de cambio de la dilatación del tiempo.

De todos modos, volvamos a tu manzana y veamos por qué la ecuación (1) nos dice que se caerá.

En realidad, calcular la trayectoria es bastante difícil. Si realmente quieres ver cómo se hace, este artículo tiene detalles sangrientos . No voy a hacer el cálculo, solo les mostraré por qué GR nos dice que la manzana debe moverse. Para hacer esto, usaré la ecuación geodésica para calcular la aceleración en el instante en que soltamos la manzana y mostrar que es distinta de cero.

Empezamos con la manzana estacionaria por lo que las velocidades$dx/d\tau$,$dy/d\tau$y$dz/d\tau$son todos cero. Aunque la manzana no se mueve en el espacio, se mueve en el tiempo a un segundo por segundo, por lo que en el momento en que se suelta la manzana$dt/d\tau = 1$(en realidad es$c$, pero tendemos a usar unidades en las que$c = 1$.

Entonces, mirando hacia atrás en la ecuación (1), las velocidades$dx^\alpha/d\tau$y$dx^\beta/d\tau$son cero excepto cuando$\alpha = \beta = 0$. Entonces, la ecuación (1) se simplifica a (recuerde que esto es solo en el momento en que se suelta la manzana):

$${d^2 x^\mu \over d\tau^2} + \Gamma^\mu_{00} = 0 \tag{2}$$

El problema es que las coordenadas que he elegido,$(t, x, y, z)$, no son ideales para campos gravitatorios (más o menos) esféricamente simétricos como el que rodea a la Tierra. Así que voy a hacer un poco de trampa y asumiré que puedo usar la métrica de Rindler para describir la curvatura en la pequeña región alrededor de la manzana y de nosotros. Tomaremos$z$ser la altura, entonces$x$y$y$será la posición en el suelo.

Con estas coordenadas, el único símbolo de Christoffel distinto de cero$\Gamma^\mu_{00}$es cuando$\mu = 3$, es decir$\Gamma^3_{00}$, y esto tiene el valor (en el momento en que se libera la manzana):

$$\Gamma^3_{00} = \frac{g}{c^2}$$

dónde$g$es la aceleración gravitatoria (y recuerda que estamos usando unidades donde$c = 1$). Reemplace esto en la ecuación (2) y expándalo en las cuatro ecuaciones separadas y obtenemos:

$$\begin{align} {d^2 t \over d\tau^2} &= 0 \\ {d^2 x \over d\tau^2} &= 0 \\ {d^2 y \over d\tau^2} &= 0 \\ {d^2 z \over d\tau^2} &= -g \end{align}$$

Y ahí está nuestro resultado. Entonces la manzana no acelera hacia los lados, es decir, en el$x$o$y$direcciones, pero acelera hacia abajo en las$-z$dirección. Y la aceleración hacia abajo es sólo$g$es decir, la aceleración gravitatoria.

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^{$^1$incluso en el espacio-tiempo plano, los símbolos de Christoffel serán distintos de cero si está utilizando coordenadas curvas, por ejemplo, coordenadas polares. Lo pasaremos por alto a los efectos de esta discusión.}

No tengo tiempo para escribir esto correctamente, pero me pidieron que hiciera de esto una respuesta. (También siento que John Rennie está a punto de publicar algo mucho mejor)

El punto clave es que no es el espacio lo que es curvo, es el espacio-tiempo. La manzana cae porque el camino descendente acelerado a través del espacio-tiempo es la geodésica a través del espacio curvo, en lugar del camino flotante "recto" a través del espacio-tiempo.