Cuando el espacio se dobla, ¿cuáles son las líneas que se doblan?

Cuando el espacio se dobla, ¿cuáles son las líneas que se doblan?

Los rectos.

Por ejemplo: supongamos que tiene dos rayos láser paralelos que viajan por el espacio. Los fotones viajan en una "línea recta" más o menos por definición, es decir, la trayectoria de un rayo láser es la línea más recta que los humanos pueden producir, por lo que es una especie de punto de referencia. Matemáticamente, dos vigas paralelas nunca deberían cruzarse. Ahora introducimos en el escenario un objeto masivo como una estrella, más allá del cual pasan los dos rayos a cada lado. Los dos rayos viajan en línea recta cada uno antes de pasar la estrella; viajan en línea recta cada uno después de pasar la estrella; y por lo que sabemos, cada uno viaja en línea recta al pasar por la estrella. Entonces, en teoría, si cada uno viaja en línea recta a lo largo de todo su camino, deberían permanecer paralelos después de pasar la estrella. Sin embargo, debido a que el espacio es curvo cerca de la estrella,

Otro ejemplo: si un planeta está volando por el espacio, debería viajar en línea recta si no hay nada que lo empuje en otra dirección (como un motor de cohete o algo así). Solo por diversión, diremos que viaja directamente hacia la nariz de Ursa Major. Ahora digamos que una estrella viene deambulando cerca del planeta; Debido a la curvatura del espacio alrededor de la estrella masiva, la trayectoria del planeta se desvía de su curso recto con destino a Osa, posiblemente incluso siendo capturado en órbita alrededor de la estrella. Todavía no hay nada que desvíe al planeta de su curso, pero su "línea recta" está cambiando debido a la curvatura del espacio.

Tenga en cuenta que en este segundo caso, la estrella también se desviará (o orbitará alrededor) del planeta en una pequeña cantidad, siendo la cantidad exacta proporcional a la relación de masas entre el planeta y la estrella. Esto se debe a que el planeta curva un poco el espacio, al igual que la estrella lo curva mucho.

La imagen mental de la línea de campo en la Relatividad General probablemente no sea útil, al menos no para mí, aparte de en casos muy especiales, porque

1. La dimensión de las imágenes que está tratando de ver es demasiado alta para que nuestra intuición espacial cotidiana nos ayude mucho: está tratando de visualizar un rango 2,$4\times 4$tensor con 10 componentes independientes (la métrica), no un vector de fuerza como en la electrostática o la gravedad newtoniana. En la ecuación de gravedad newtoniana o de campo débil de Einstein, la$g_{0\,0}$componente se convierte en el análogo del potencial gravitacional$\phi$, por lo que la imagen mental que busca se convierte en la de la gravedad newtoniana con líneas de fuerza a lo largo$\nabla\,\phi$. Pero estas no son las líneas del "espacio doblado";

2. La gravedad no es una fuerza en GTR. Tampoco puede definir un sistema global de coordenadas que le permita definir un "campo de aceleración" que lo sustituya. Solo puede definir la aceleración en relación con los marcos de inercia que se mueven localmente, que es lo que mide un acelerómetro. Entonces, alrededor de un planeta, por ejemplo, podría trazar un campo de aceleración relativo a la superficie del planeta . Así que realmente estás de vuelta en la imagen newtoniana.

No se obsesione demasiado con las palabras "espacio-tiempo torcido, espacio-tiempo deformado", porque no puede visualizarlas : nuestra evolución en el Neógeno de África Oriental en el Planeta Tierra no nos equipó para reconocer tales patrones; su reconocimiento no fue útil para encontrar comida y agua o mantenerse alejado de los leones neógenos. Provocan una gran cantidad de sentimientos innecesarios de que "nunca seré capaz de entender estas cosas". Realmente creo que la abstracción es tu amiga aquí: "espacio-tiempo doblado" simplemente significa que si tomas un vector y lo transportas en paralelo alrededor de un bucle en ese espacio-tiempo, habrá cambiado a un vector diferente cuando regreses a tu punto de partida. O, alternativamente, el espacio-tiempo torcido significa que la geometría hecha allí no cumplirá con todos los axiomas de Euclides.$180^\circ$. Eso es todo al respecto. Esta variación alrededor de un camino se llama holonomía. Mire esto aquí . El objeto utilizado para medir esto es un objeto de rango cuatro: debe tomar como entradas dos vectores (que definen los bordes del paralelogramo infinitesimal por el que imaginas que se transporta un vector) y escupe una matriz que define la transformación que sufre cualquier vector al ser transportado . alrededor de un bucle. Afortunadamente, podemos reducir esto a un objeto de rango dos que tiene significados geométricos más simples, y una de las mejores explicaciones elementales de los significados de todo esto se encuentra en el Capítulo 42 del Volumen 2 de las Conferencias Feynman .

Si traza líneas de cuadrícula en un gráfico, ¿cuáles son las líneas de cuadrícula?

Bien, en un gráfico 2D típico con x aumentando hacia la derecha e y aumentando hacia arriba, las líneas horizontales de la cuadrícula son los lugares geométricos de la constante y y las líneas verticales de la cuadrícula son los lugares geométricos de la constante x.

En 3D, las líneas de cuadrícula son los lugares geométricos de las constantes x e y para las que corren paralelas al eje z y de las constantes y y z para las líneas de cuadrícula que corren paralelas al eje x y así sucesivamente.

Eso es lo que se muestra en esas visualizaciones del espacio doblado: loci de valores constantes para algún conjunto de coordenadas de tiempo y espacio.

Cuando las personas hablan de la curvatura del espacio, por lo general se refieren a dos ideas relacionadas: 1) la curvatura de las líneas del mundo en 3+1-espacio-tiempo o 2) la curvatura de las trayectorias de luz en 3-espacio. Estas ideas están relacionadas ya que la luz se comporta como el límite de alta velocidad y baja masa.

1) Considere una superficie 2D incrustada en un espacio plano 3D. En cualquier punto de la superficie existe un plano tangente. Si la superficie es curva, a medida que deslizamos el plano tangente de un punto a otro, los ángulos que forma con respecto a los ejes tridimensionales fijos cambian.

Ahora, considere una partícula que se mueve a una velocidad unitaria constante a lo largo de esta superficie. Podemos proyectar su vector de velocidad en los ejes tridimensionales fijos. En cada punto a lo largo de la curva, las componentes de la velocidad cambian, pero la magnitud total de la velocidad permanece igual.

Para hacer la conexión con el espacio-tiempo, dejamos que una dimensión sea el tiempo, las otras dos son el espacio, y nuestra velocidad unitaria constante es la tasa de tiempo propio de la partícula. La curva trazada por la partícula es su línea de tiempo, y la relación entre sus componentes espaciales y su componente temporal es la velocidad observada de la partícula. Si consideramos una partícula que se mueve en línea recta en un espacio plano, entonces una fuerza que hace que se acelere hace que su línea universal se curve hacia el plano espacial, y una fuerza que hace que disminuya la velocidad hace que la línea universal se curve hacia el tiempo. eje.

2) Para describir un espacio 3D que no es plano, me gusta pensar en esponjas. Un espacio plano está representado por una esponja homogénea. Si colocamos una masa en una esponja homogénea, entonces tira de la esponja hacia ella con una fuerza dependiente de la distancia. El efecto es que la esponja se vuelve más y más densa a medida que te acercas a la masa.

Un haz de luz busca el camino más recto, de máxima componente espacial y de velocidad constante que pueda encontrar. Si bien las partículas pueden ralentizarse o acelerarse cuando cambia la densidad de la esponja espacial, el haz de luz no tiene esta opción, por lo que se desvía para optimizar su trayectoria.