Casi todas las ecuaciones físicas en las que puedo pensar (aunque en realidad no me siento cómodo más allá del alcance de la mecánica clásica y la termodinámica macroscópica, ya que eso es suficiente para lidiar con los problemas de ingeniería cotidianos) se expresan asumiendo dominios continuos al menos para una variable a rango sobre; es decir, los conjuntos de números reales y complejos se utilizan de forma ubicua para modelar parámetros físicos de casi cualquier sistema concebible.
Sin embargo, incluso si desde este punto de vista el continuo parece ser una parte central y esencial de las teorías físicas, es una propiedad bien conocida que casi todos sus miembros (es decir, excepto un conjunto de medida cero de Lebesgue) son incalculables. Eso significa que cada conjunto de números reales que se pueden codificar para calcular -como una descripción de un conjunto de condiciones de contorno, por ejemplo-, no es más que un elemento de medida cero del continuo.
Me parece que permitir esa multitud de puntos no computables, que ni siquiera pueden ser referidos o especificados de manera significativa, constituye una situación intelectual incómoda.
Me pregunto si este enfoque de la física dependiente del continuo puede ser reemplazado por el uso estricto de formalismos completamente contables, en un lenguaje que asume y habla de estructuras discretas. Lo que estoy preguntando es si el hecho de que solo podamos tratar con cantidades discretas puede estar incrustado en las propias teorías físicas desde su concepción y no se permite que se cuele nada más, excluyendo explícitamente cosas no computables; o si, por el contrario, existen algunas razones fundamentales para seguir aferrándose a las estructuras continuas en física.
Tiendo a pensar que no hay forma ni sentido en deshacerse del continuo. Incluso si un increíble avance en la física cumpliera ese deseo, apuesto a que las viejas teorías del continuo serían más preferibles "para tratar los problemas de ingeniería cotidianos".
Sin embargo, ese es el punto de mi respuesta (que es más como un comentario extendido), las entidades continuas exhiben o pueden modelarse a través de estructuras más discretas. El truco es emplear más álgebra.
Por ejemplo, cuando usted (o su CAS) está calculando derivadas simbólicamente, solo está aplicando algunas reglas algebraicas simples. No estás calculando límites, jugando con infinitesimales, sino que estás encontrando la derivada algebraica.
Además, encontrar antiderivadas en este entorno tampoco tiene nada que ver con el cálculo. Mathematica o cualquier otro CAS utiliza un algoritmo sofisticado originado en álgebra junto con muchas heurísticas para encontrar integrales indefinidas.
O, por ejemplo, al multiplicar o sumar polinomios, no los trata como funciones .
no es un objeto muy continuo, es solo un polinomio en , se puede codificar como .
La geometría diferencial (el cálculo de partes en variedades) es como el cálculo, pero a menudo se presenta usando mucho álgebra.
Por supuesto, la interpretación física subyacente es continua, pero tratar objetos "continuos" no siempre requiere tratar con su continuidad. Al final, escribiste las ecuaciones sin tener que contar .
UPD En cuanto a la computabilidad, discreto no significa computable. Véase, por ejemplo , el décimo problema de Hilbert : no existe un algoritmo para encontrar raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros. Por supuesto, si considera que ese problema es lo suficientemente discreto. Así que el problema de la computabilidad puede surgir en casi todas partes y su relación con la física es realmente muy interesante.
Esta es una pregunta interesante. No sé si es responsable en un sentido muy estricto, y también es por eso que es posible que vea muchos comentarios. Este es básicamente otro, que se hizo demasiado largo.
En primer lugar, el nombre de usuario Yrogirg tiene algunos buenos puntos en el sentido de que muchas teorías matemáticas que se modelan usando el conjunto de reales (y creo que incluso usé estos términos en el sentido técnico aquí) implican muchas facetas que son realmente de naturaleza agebraica. Puede implementar fácilmente derivaciones representando las cantidades de interés como símbolos distintos y traduciendo las reglas abstractas de cálculo asociadas a la manipulación de estos símbolos.
Formulas el problema físico y luego su solución echando un vistazo a la estructura de la teoría y deduces la forma de obtener del objeto "condiciones límite/iniciales". al objeto "valor esperado de observable" (y establecer el límite para el sistema también es solo proporcionar una entrada que se ha tomado de otro observable). Todo en el medio es de naturaleza computacional en el sentido anterior, por lo que, en vista de su pregunta, probablemente solo tenga que preocuparse por la realidad de los objetos a la izquierda y a la derecha. Medir se trata fundamentalmente de comparar dos cosas y como los racionales yacen densos en los reales y, por lo tanto, ningún humano puede notar la diferencia, no veo razón para estar preocupado.
Se hace el mismo punto si digo que si define una curva para que sea perfectamente suave en el sentido matemático y luego dibuja una imagen de ella aproximándola sucesivamente usando líneas finitas. La distinción del experimento de la curva real y aproximada, para cada nivel de sofisticación, se puede superar con suficiente tiempo y almacenamiento de datos.
El punto que plantea con respecto a la medida nula de los reales no es un problema ya que, con respecto a los observables, no veo por qué necesitaría integrar manualmente los puntos. Nuevamente, los números expresan o almacenan información sobre una comparación. Por ejemplo, puede comparar áreas (¿con qué frecuencia encaja la primera en la segunda?) o tonos de gris (¿qué es más oscuro/hace que el dispositivo de medición reaccione más fuerte?), y si "compara puntos", realmente expresa distancias, lo que significa compararás longitudes. Aquí entras en el negocio de toda la unidad.
Como comentario, aunque creo que no es muy bienvenido en este sitio, en realidad hay algunos documentos (en subcampos, en los que también están involucradas algunas personas con nombres) que contienen declaraciones como
"Lo que se necesita es un formalismo que (i) esté libre de prejuicios prima facie sobre la naturaleza de los valores de las cantidades físicas; en particular, no debería haber un uso fundamental de los números reales o complejos..."
Para resumir, creo que su primera oración "Casi todas las ecuaciones físicas que se me ocurren se expresan asumiendo dominios continuos al menos para que una variable se extienda" es exactamente lo que es. Un método de representación. El método para obtener los resultados está implícito en las relaciones matemáticas asociadas con los símbolos.
Personalmente, no tomo nada de la teoría física particularmente literalmente, pero es un lenguaje útil y accesible en cualquier caso, por lo que realmente no influye en la forma en que haces física.
No soy un experto, por lo que debe tomar mi respuesta con un grano de sal. Creo que lo principal que hay que darse cuenta es que, precisamente porque la mecánica/hidrodinámica celeste se pueden formular como teorías continuas, son "fáciles" de discretizar y resolver numéricamente. Con la llegada de las computadoras esto se ha vuelto aún más obvio que antes. De hecho, es tan fácil resolver numéricamente las ecuaciones de Newton que se hace en una de las primeras conferencias de Feynman, por ejemplo. La diferenciabilidad es una promesa de que
será una buena discretización, si toma un tamaño lo suficientemente pequeño . Esta visión del análisis, por supuesto, no se enfatiza hasta que toma lecciones sobre análisis numérico. Desde este punto de vista, los números reales son solo una ficción educada, parte del "paraíso de Cantor" que los matemáticos no abandonarán como dijo Hilbert.
Para resumir: creo que es un error intentar una reformulación de la física del continuo, las teorías del continuo conducen a versiones discretizadas consistentes, que se puede probar que se aproximan a una precisión arbitraria.
Como demuestra sin lugar a dudas la increíble dificultad para encontrar soluciones al modelo tridimensional de Ising, los problemas discretos son fundamentalmente tan difíciles como los problemas continuos, y en muchos casos probablemente incluso más. Más interesante aún, las soluciones físicamente relevantes del modelo de Ising de dimensiones superiores corresponden a modos de ciertas ecuaciones continuas, y la "carne" real de la teoría está en encontrar estas intrincadas correspondencias entre sistemas que parecen muy diferentes en la superficie y, sin embargo, comparten mucho. propiedades fundamentales.
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Ján Lalinský