¿El espacio-tiempo es discreto o continuo?

¿El espacio-tiempo de 4 dimensiones de la relatividad general es discreto o continuo?

En la definición habitual de la relatividad general, el espacio-tiempo es continuo. Sin embargo, la relatividad general es una teoría clásica y no tiene en cuenta los efectos cuánticos. Se espera que tales efectos aparezcan a distancias muy cortas, donde su pregunta es relevante.

¿Hay evidencias experimentales de continuidad/discreción?

Toda la evidencia experimental apunta al espacio continuo, hasta las distancias más cortas que hemos podido medir . No sabemos qué sucede a distancias más cortas. Tampoco tenemos ninguna evidencia experimental directa de que la gravedad sea una teoría cuántica, con la misma salvedad.

Por otro lado, estamos bastante seguros de que una teoría completa de la naturaleza debe incluir la gravedad cuántica y no solo la gravedad clásica. Y tenemos una suposición fundamentada de la escala de distancia en la que los efectos cuánticos deberían ser medibles: esta es la longitud de Planck, aproximadamente$10^{-33}$cm. Esto es mucho más corto que la distancia más corta a la que podemos realizar experimentos, por lo que al menos no nos sorprende que no hayamos visto ningún efecto de este tipo hasta ahora.

Antes de continuar, una advertencia más. Hay un experimento astrofísico interesante y bastante reciente que mostró que la simetría de Lorentz se mantiene incluso por debajo de la longitud de Planck. Si se rompe la simetría de Lorentz, generalmente significa que los fotones con diferentes energías viajarán a diferentes velocidades. En el experimento, lograron detectar un par de fotones que se crearon casi al mismo tiempo pero que tenían energías muy diferentes. Alcanzaron el detector casi simultáneamente, lo que significa que sus velocidades eran similares. Debido a que los fotones viajaron una enorme distancia antes de llegar a nosotros, deben haber tenido casi la misma velocidad.

Así que sabemos que al menos la simetría de Lorentz se mantiene a distancias muy cortas, y parece difícil reconciliar este hecho experimental con un espacio-tiempo discreto. Entonces, al menos ingenuamente, parece que esto es una evidencia en contra de la discreción.

¿El espacio-tiempo es continuo o discreto?

A grandes distancias, el espacio-tiempo ciertamente puede considerarse continuo. A distancias cortas, la respuesta corta es: no lo sabemos.

La teoría de cuerdas es la única teoría consistente de la gravedad cuántica que conocemos, en la que podemos calcular cosas con cierta confianza. (Probablemente escuchará algunas opiniones que contradicen esta afirmación, mencionando la gravedad cuántica de bucles, conjuntos causales, etc., que no están relacionados con la teoría de cuerdas, pero lo que dije es la opinión común en la comunidad de teóricos de alta energía). Cuerda La teoría nos está dando algunas pistas sólidas de que quizás el espacio-tiempo en distancias cortas no es continuo o discreto, sino algo más que aún no entendemos.

Entonces, la situación es que incluso teóricamente, sin hablar de experimentos reales que verifiquen la teoría, no sabemos cómo es el espacio-tiempo a distancias cortas. Quizás es por eso que no ve que esta pregunta se mencione mucho. Mi conjetura personal es que el espacio-tiempo en distancias cortas no es ni continuo ni discreto, sino que tiene una naturaleza diferente que puede requerir nuevas herramientas matemáticas para describir.

O mejor, ¿y si consideramos dimensiones adicionales como las hipótesis de la teoría de cuerdas? ¿Son esas dimensiones adicionales compactas discretas o continuas?

Agregar dimensiones adicionales no cambia nada de lo anterior.

Hay un argumento conocido como el argumento del mosaico de Weyl que no es física sino filosofía, implica algunas matemáticas realmente fáciles y accesibles para los legos como yo. Aún así, estoy tentado de poner esto aquí ya que responde a su pregunta, aunque probablemente no pertenezca a un foro de física.

En un espacio discreto, digamos un espacio de mosaico cuadrado/rectangular, (por conveniencia) comenzamos construyendo dos lados de un triángulo, cada uno de 1 unidad de longitud. Para atravesar la hipotenusa desde cualquier punto, tenemos que mover una unidad de longitud hacia la derecha (o izquierda) y una unidad de longitud hacia abajo (o hacia arriba).

Digamos que AC se recorre en 2 pasos, AD, DC, tenemos una longitud de 2 unidades a lo largo de AC en el espacio en mosaico.

Supongamos que seguimos aumentando el número de pasos tomados de A a C y disminuyendo el tamaño de la unidad de longitud, el camino a lo largo de AC se vería así:

La longitud a lo largo del camino en zigzag sobre AC sigue siendo mayor que la longitud de la hipotenusa por un factor de √2, que era el mismo factor cuando usamos una unidad de espacio mucho más grande y solo 2 pasos (n=2) para atravesar la hipotenusa !

Este es esencialmente el argumento del mosaico de Weyl.

el primer resultado no converge al segundo para valores arbitrarios de n, se puede examinar la diferencia porcentual entre los dos resultados: (n√2 - n)⁄n√2 = 1-1⁄√2. Dado que n se cancela, los dos resultados nunca convergen, incluso en el límite de n grande.

Esto nos dice que no importa cuán pequeña sea la unidad de longitud que tomemos, ni siquiera una longitud infinitesimal, se aproximaría al teorema de Pitágoras en un espacio discreto. Sucede que es cierto debido a la simple observación de que debe poder viajar en el espacio en cualquier dirección, que es, en este ejemplo, 1/2 hacia la derecha y 1/2 hacia abajo (45 °) simultáneamente por una unidad , y no una unidad hacia la derecha luego una unidad hacia abajo, que es lo que pasa si discretizamos longitud. Para que funcione el teorema de Pitágoras, una longitud fija medida en una dirección no debe variar cuando se mide en otra dirección. Esto se conoce como isotropía.del espacio, que es una propiedad del continuo. Los modelos discretos con estructuras diferentes a las rectangulares también se pueden refutar con el mismo argumento.

En cierto sentido, este argumento no cae presa de afirmaciones infalsables de que existe discreción, pero está más allá de nuestras capacidades de observación experimental. No importa cuán pequeños sean los "granos" o los "píxeles".

Tome 3 palos, dos de ellos con una longitud de 1 metro y uno de aproximadamente 1.414 metros, todos ellos medidos a lo largo de un eje común. Trate de hacer un triángulo rectángulo, si la hipotenusa no llega a completar el triángulo o después de alguna rotación, se extiende más allá de él, (je) estás en un universo con espacio discreto.

Ya era hora

La relatividad en sí misma solo observa que hay "movimiento" y "asume" que hay "tiempo".

Si digo, por ejemplo, “El autobús llega aquí a las 9 en punto”, implícitamente quiero decir que señalar las 9 con la manecilla pequeña de mi reloj y la llegada del autobús son eventos simultáneos.

Esto parece perfectamente aceptable, a menos que te des cuenta de que estamos comparando las coordenadas (ubicación) de una cosa con una cosa llamada "tiempo".

Pero, de hecho, las coordenadas de una cosa (un autobús) solo se comparan con las coordenadas de otra cosa (la ubicación de un puntero giratorio o el pulso en el circuito, en el caso de un reloj digital).

El punto es que las coordenadas del espacio se usan para medir el tiempo, por lo que se podría decir que en realidad son lo mismo. Si el espacio es continuo, también lo es el tiempo.

Existe una hermosa teoría de la gravedad cuántica llamada "Gravedad cuántica canónica" que tiene como objetivo cuantificar la relatividad general utilizando métodos canónicos típicos (cuantificación canónica/formulación integral de trayectoria). Esta teoría predice una estructura granular en el espacio-tiempo manteniendo la invariancia local de Lorentz. La teoría proporciona un espectro de valores propios para el área y el volumen cuantificados en función de los gráficos de red de espín de Penrose, excepto que la teoría considera clases de equivalencia de redes de espín bajo difeomorfismos. La formulación de la integral de trayectoria de la teoría consiste en considerar una suma sobre geometrías que es completamente independiente del fondo, realizada en suma sobre 2-complejos, que son gráficos en sí mismos. Aquí hay un pequeño conjunto de conferencias que podrían interesarle: http://arxiv.org/abs/1102.3660

Respuesta al comentario de OP: No hay pruebas experimentales de gravedad cuántica que conozcamos a partir de ahora, ya sea porque no sabemos cómo interpretar lo que ya tenemos frente a nosotros, o porque simplemente no tenemos la técnica. poder/creatividad todavía, aunque hay una serie de artículos nuevos que sugieren experimentos que se pueden hacer en el LHC para Canonical Quantum Gravity, que tienen que ver con la evaporación de micro-agujeros negros y sus espectros de radiación que difieren de los espectros clásicos. predicho por QFT en espacio-tiempo curvo. Canonical Quantum Gravity es también la única teoría convencional de QG sobre la mesa que brinda predicciones numéricas falsificables que son novedosas; al menos todavía tengo que ver algo más en los foros y arxiv que lo haga, así que eso no significa mucho.

la idea de que el espaciotiempo tiene una longitud fundamental no se traduce necesariamente en una estructura discretizada.

Pensemos intuitivamente esto en términos de integrales de ruta (supongamos rutas unidimensionales y olvidémonos de la estructura fibrosa por ahora, no es relevante para la discusión). Cuando hacemos integrales de trayectoria, generalmente tomamos todas las trayectorias cinemáticas del sistema en el espacio de configuración (lo que generalmente se denomina estados fuera de la capa), asignamos una amplitud dada por la acción dinámica y las sumamos todas para obtener amplitudes físicas observables (el on -estados de concha)

Ahora, la escala de Planck establece un límite natural para los estados en el caparazón, porque los caminos que tienen energías por encima de esa escala deben dar como resultado agujeros negros en el camino (o el equivalente de gravedad cuántica de los agujeros negros, cualquiera que sea). Entonces, en sus amplitudes para los estados en el caparazón, obtiene sistemas que no tienen una estructura observable más allá de la escala de Planck y, de hecho, aumentar la energía lo empeora porque hace que los agujeros negros resultantes sean más grandes. Pero viven, no obstante, en un trasfondo invariable de Lorentz.

Ahora, todo esto es especulativo, y probablemente no sea una imagen del todo correcta, pero mi punto es que una escala física mínima finita no contradice un fondo continuo invariante de Lorentz.

Para el espacio-tiempo de cuatro dimensiones al que estamos acostumbrados, los átomos de espacio-tiempo son incompatibles con la relatividad especial. Si tuviéramos que intentar reclamar un tamaño de estos granos de espacio-tiempo, también tendríamos que decir en qué marco de referencia tienen ese tamaño. Entonces introducen un marco de referencia preferido. Según tengo entendido, la supersimetría introduce dimensiones de espacio-tiempo completamente discretas, pero estas son radicalmente diferentes de las dimensiones a las que estamos acostumbrados. Aquí hay una discusión mucho mejor sobre el tema por parte de uno de los principales teóricos del mundo.

Para responder a tu pregunta, el espacio-tiempo puede ser continuo o discreto; no se puede saber si las matemáticas de este último convergen con las del primero. Ahora, en referencia a la paradoja del mosaico de Weyl, me gustaría señalar lo siguiente. Lo que muestra el argumento es que la distancia en la geometría discreta de la cuadrícula no converge a la distancia en la geometría continua del plano bajo el límite de una secuencia de refinamientos de las cuadrículas en cuadrados cada vez más pequeños. Sin embargo, el desajuste se produce al elegir, y mantener, direcciones particulares para los ejes de la cuadrícula. No debería sorprender que esto produzca un efecto anisotrópico. ¿Qué pasa si el límite está sobre una matriz ?de cuadrículas que no solo las refina en cuadrados cada vez más pequeños, sino que también las rota en ángulos cada vez más pequeños? Entonces, la diferencia entre las distancias a lo largo de las cuadrículas y la distancia euclidiana converge a cero en el sentido de$\lim\inf$.

Escribí algunos detalles aquí: http://inperc.com/wiki/index.php?title=Convergence_of_the_discrete_to_the_continuous .

Desde 2014, de acuerdo con una ecuación y un teorema de física matemática específicos descritos en:

https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.114.091302 , versión preliminar https://arxiv.org/abs/1409.2471

con prueba en

https://link.springer.com/article/10.1007%2FJHEP12%282014%29098 , versión preliminar https://arxiv.org/abs/1411.0977 ),

se puede argumentar que existe una descripción geométrica de los espaciotiempos de Lorentz con volúmenes 4D, 3D o 2D cuantificados en valores enteros de unidades planckianas .

Entre las consecuencias físicas, estos diferentes aspectos de la discreción del espacio-tiempo proporcionan , respectivamente, "cuantificación de la constante cosmológica, materia oscura mimética y cuantización del área de los agujeros negros ", según los autores de los artículos citados: Ali Chamseddine, Alain Connes y Viatcheslav Mukhanov (respectivamente físico teórico, matemático y cosmólogo).

El detalle de los cálculos con respecto a la conexión entre la materia oscura mimética y la energía oscura con discreción de volumen 3D o 4D se puede encontrar en https://arxiv.org/abs/1702.08180

Si los resultados nulos persisten en la búsqueda de partículas de materia oscura y la fenomenología de la gravedad mimética sigue siendo compatible con las observaciones astronómicas multimensajero ( https://arxiv.org/abs/1811.06830 ), la discreción del espacio-tiempo podría surgir como una hipótesis relevante.

Uno puede notar que el físico de alta energía John Iliopoulos, quien hizo en 1974 un memorable "Informe plenario sobre el progreso en las teorías de calibre" allanando el camino para completar el modelo estándar actual de partículas ( http://inspirehep.net/record/ 3000/files/c74-07-01-p089.pdf …) ha informado recientemente que este marco geométrico "puede ofrecer una nueva visión de los misterios de la materia oscura y la energía oscura".( https://www.epj-conferences. org/articles/epjconf/abs/2018/17/epjconf_icnfp2018_02055/epjconf_icnfp2018_02055.html )

Por supuesto, este último comentario no debe tomarse como un argumento autorizado, sino que pretende mostrar que este paradigma geométrico que es casi ortogonal al actual en la comunidad de física de (astro)partículas no lo convierte en irrelevante.