¿Puede la ecuación de Schrödinger describir el movimiento planetario? [duplicar]

Sí, puede construir órbitas clásicas a partir de la ecuación de Schrödinger, siempre que tome el límite correcto. Por ejemplo, considere el átomo de hidrógeno. Mientras que los niveles de energía más bajos, como el$1s$o$2p$no se parecen en nada a las órbitas clásicas, puede construir funciones de onda que superponen soluciones con alta$n$adecuadamente. Tales soluciones obedecen a la ecuación de Schrödinger con hamiltoniano$H = p^2/2m - e^2/r$, pero tienen un pico agudo, que orbita el núcleo en una trayectoria circular o elíptica. por muy alto$n$el pico puede llegar a ser extremadamente nítido, por lo que la posición es definitiva para todos los propósitos prácticos.

Heurísticamente esto funciona porque, dado un estado que es una superposición de estados con diferentes$\ell$'arena$m$es pero lo mismo$n$, los coeficientes de$|n, \ell, m \rangle$Los estados internos son esencialmente una transformada discreta de Fourier de la función de onda del espacio de posición, con$O(n^2)$entradas. Para mayor$n$, puede usar esto para crear picos cada vez más nítidos. Este razonamiento ni siquiera es necesario; sabemos que tiene que funcionar porque todo es cuántico, por lo que debe haber una forma de reproducir los resultados clásicos dentro de la mecánica cuántica.

Al tratar un planeta como una sola partícula, se mantiene el mismo razonamiento. Sin embargo, como lo señalan otras respuestas, esta no es la historia completa, porque un planeta es mucho más complicado que un electrón. De hecho, esta complicación es esencial, porque si un planeta y una estrella fueran partículas individuales en un espacio perfectamente vacío, no hay ninguna razón particular por la que el planeta terminaría en uno de estos estados de aspecto clásico con una posición marcadamente puntiaguda. Para un planeta real, esto es una consecuencia de la decoherencia: las superposiciones que no tienen posiciones de pico pronunciado no son estables frente a la interacción con el entorno. Así surge el mundo clásico.

También debo señalar que el enlace que proporcionó no es un ejemplo de esto. Ese artículo trata sobre una cantidad astrofísica que está descrita por una ecuación con la misma forma que la ecuación de Schrödinger, pero no ocurre absolutamente nada cuántico. Es solo una coincidencia, que surge porque no hay tantas PDE diferentes de bajo orden. Si hay alguna razón, es simplemente que buscamos ecuaciones simples en escalas tanto microscópicas como macroscópicas.

Es muy común en física que la misma ecuación diferencial describa diferentes sistemas. Por ejemplo, considere la ecuación:

$$\frac{dy}{dt} = -k\,y$$

Esto describe la descomposición de las sustancias radiactivas, la velocidad del flujo de agua a través de una fuga en el fondo de un barril y, probablemente, la cantidad de células cerebrales vivas en mi cerebro. Pero aunque es la misma ecuación en estos ejemplos, el significado físico de$y$y la constante$k$son muy diferentes.

Ahora, el trabajo que menciona se describe en Schrödinger Evolution of Self-Gravitating Disks de Konstantin Batygin y los detalles se describen en ese documento. Batygin construye una función$\psi$que es una función bastante abstracta construida a partir de variables que describen el movimiento, y encuentra que$\psi$obedece a la ecuación de Schrödinger. Pero es físicamente completamente diferente. Su$\psi$no es una función de onda y no está relacionada con las probabilidades.

La ecuación de Schrödinger que aparece en el artículo es una ecuación clásica de movimiento que describe efectivamente algún problema de mecánica continua. En este sentido, los discos no se rigen por la ecuación de Schrödinger con su interpretación cuántica. De manera similar, las ecuaciones tipo Schrödinger ocurren como ecuaciones de onda clásicas en muchas áreas (por ejemplo, ondas de agua).

Sin embargo , la ecuación de Schrödinger real puede y describe el movimiento orbital de los planetas. Dado que la mecánica newtoniana debe ser un límite de la mecánica cuántica, si queremos aceptar la mecánica cuántica como un modelo que describe nuestro mundo (después de todo, la nueva teoría tiene que explicar por qué la anterior tuvo tanto éxito).

La forma más sencilla de ver que este es el caso es estudiar el teorema de Ehrenfest, que nos dice cómo evolucionan los valores esperados. La derivación de la ecuación de Schrödinger y su conjugada es bastante sencilla:

$$\begin{align*} i\hbar \partial_t \left|\psi\right> &= H\left|\psi\right> & -i\hbar \partial_t \left<\psi\right| &= \left<\psi\right| H \end{align*}$$ $$\begin{align*} \partial_t \left<\psi \middle| A \middle| \psi \right> &= (\partial_t \left<\psi\right|) A \left|\psi\right> + \left<\psi\right| (\partial_t A) \left|\psi\right> + \left<\psi\right|A \partial_t \left|\psi\right> \\ &= \frac i \hbar \left<\psi\right| HA \left|\psi\right> + \left< \psi \right| (\partial_t A) \left|\psi\right> - \frac i \hbar \left<\psi\right|AH\left|\psi\right> \end{align*}$$ $$\partial_t \left< A \right> = \frac i \hbar \left<\left[H, A\right]\right> + \left<\partial_t A\right> .$$

Si ahora tomamos un$n$-partícula hamiltoniana:

$$H = \sum_i \frac{p_i^2}{2m_i} + V(\vec r_1, \ldots, \vec r_n)$$ y escriba las ecuaciones para los valores esperados para $\vec r_i$y $\vec p_i$obtenemos las ecuaciones: $$\begin{align*} \partial_t \left<\vec p_i \right> &= \frac i \hbar \left<[H, \vec p_i]\right> = \left< \nabla_i V(\vec r_1, \ldots, \vec r_n) \right> \\ \partial_t \left<\vec r_i \right> &= \frac i \hbar \left<[H, \vec r_i]\right> = \frac i \hbar \left<\left[\frac{p_i^2}{2m_i}, \vec r_i\right]\right> = \frac {\left<\vec p_i\right>} {m_i}. \\ \end{align*}$$ Esas son casi las ecuaciones clásicas de movimiento para $\left<\vec r_i\right>$y $\left<\vec p_i\right>$. La única diferencia es que la fuerza $\nabla V(\vec r_1, \ldots, \vec r_n)$no se evalúa en la posición promedio, sino que se promedia sobre el estado. Esto, sin embargo, no importa si nuestro estado es un paquete de ondas muy agudas en comparación con la escala de longitud en la que $\nabla_i V$varía Esto muestra cómo la mecánica cuántica describe el movimiento orbital, ya que describe la mecánica clásica en el límite de paquetes de ondas muy concentrados en el ( $\vec p$, $\vec r$), por lo que la medición tendrá una incertidumbre mecánica cuántica muy pequeña. Los límites impuestos a la nitidez del pico por la relación de incertidumbre son despreciables para un planeta ${}^1$que tiene una masa inmensa, de modo que incluso para pequeñas velocidades $\vec p$se vuelve muy grande en comparación con $\hbar$, por lo que la incertidumbre de la posición también puede ser muy pequeña.

Si tenemos un sistema ligado formado por$n$partículas, podemos hacer lo mismo que en la mecánica clásica y transformar las coordenadas para obtener una ecuación para el centro de masa y ecuaciones para el movimiento relativo de los constituyentes. Eso, a su vez, significa que podemos escribir la ecuación de Schrödinger para el centro de masa de un planeta, al igual que podemos escribir ecuaciones de movimiento para el centro de masa en la mecánica clásica. (Nota: ese potencial que actúa en el centro de masa es exactamente el mismo que si los planetas fueran masas puntuales requiere simetría esférica de los cuerpos en órbita y está relacionado con el teorema de la capa de Newton, pero es cierto para cuerpos más generales como el primer orden de una expansión multipolar).

Usando la idea del último párrafo, podemos escribir el hamiltoniano para un planeta en órbita. Tiene la misma forma que el hamiltoniano para un átomo de hidrógeno:

$$H = \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + G\frac{m_1 m_2}{\left|\vec r_1 - \vec r_2\right|},$$ Por supuesto, se vuelve más complicado si incluimos varias masas, pero el hamiltoniano presentado tiene la propiedad conveniente de que se conocen las soluciones, por lo que podemos estudiar soluciones exactas.

Ahora, incluso podemos ir más allá y plantear la pregunta de cómo surgen las órbitas clásicas como solución de estado límite dependiente del tiempo.$^2$de la ecuación de Schrödinger (que son, después de todo, proporcionales a los armónicos esféricos, tan esparcidos por toda la órbita). Para hacer esto, tenemos que construir los paquetes de ondas agudas (la discusión sigue a la del final (p. 136-138) del Capítulo 6.3 de Franz Schwabl: Quantum Mechanics. Cuarta edición, Springer (2007)). Restringimos la discusión a órbitas circulares, la construcción de soluciones con picos pronunciados en órbitas elípticas es mucho más difícil. De manera análoga a la forma en que se derivan los paquetes de ondas gaussianas para partículas libres, superponemos estados propios con números cuánticos grandes$n$. Además, elegimos solo aquellos componentes con momento angular máximo$l = n-1$(dado que las órbitas circulares clásicas tienen el momento angular más grande para una energía dada) y el número cuántico magnético máximo$m = l$(ya que esos son los estados que están más localizados alrededor del plano central de rotación). Esto da una forma

$$\begin{align*} \psi(r, \vartheta, \varphi, t) &= \sum_n c_n \psi_{n,n-1,n-1}(r, \vartheta, \varphi) e^{-iE_nt/\hbar} \end{align*}$$ Él $c_n$se eligen para estar centrados alrededor de algunos grandes $n_0$y decaen en un ancho pequeño en comparación con $n_0$. Ahora podemos escribir $n = n_0 + \varepsilon$y se desarrollan en el pequeño parámetro $\varepsilon/n_0$ $$\psi(r, \vartheta, \varphi, t) = \sum_n c_n \frac{1}{\sqrt \pi n! n^n a^{3/2}} \left(-\frac r a \sin(\vartheta)\right)^{n-1} e^{-r/na} e^{i(n_0+\varepsilon)\varphi + i t \frac{\left|E_0\right|}{\hbar} \left(1/n_0^2 - 2\varepsilon/n_0^3\right)}$$ Esto obviamente tiene un pico agudo alrededor $\theta = \pi/2$para grande $n_0$. En el $\theta = \pi/2$plano, podemos escribir (la fase de normalización y constante se absorbe en los nuevos coeficientes de desarrollo $c_n'$): $$\psi(r, \vartheta=\pi/2, \varphi, t) \propto \sum_n c_n' r^{n-1} e^{-r/na} e^{i(n-n_0) \big(\varphi - (2\left|E_0\right|/\hbar n_0^3)t\big)}$$ Si el $c_n'$se eligen apropiadamente, esto mostrará una dependencia del tiempo $\psi(r, \pi/2, \varphi, t) = f(r)g(\varphi-\omega t)$con $\omega = 2\left|E_0\right|/\hbar n_0^3$. La distribución radial tiene un pico similarmente pronunciado (es un poco más de trabajo mostrar esto, lo más fácil es considerar esa diferencia relativa de los valores esperados de posición $\frac{\left<r\right>_{n,n-1,n-1} - \left<r\right>_{n+1,n,n}}{\left<r\right>_{n,n-1,n-1}} \approx 2/n \to 0$para grande $n$, pero es un poco más de trabajo mostrar que la incertidumbre radial también se vuelve pequeña como un número absoluto).

Lo bueno de estos paquetes de ondas es que, a diferencia de los paquetes de ondas gaussianas en el espacio libre, sus incertidumbres no crecen ilimitadamente. Así que ni siquiera tenemos que preocuparnos de que la posición de nuestro planeta se difumine en todo el sistema solar después de unos pocos millones de años. (Esto, por supuesto, no puede suceder con los objetos macroscópicos, pero discutir esto nos alejaría demasiado de la pregunta).

Otra observación es que tales órbitas casi clásicas también se pueden preparar para los átomos. Tales átomos altamente excitados se llaman átomos de Rydberg .

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${}^1$Si queremos darnos cuenta de una incertidumbre de$\Delta x = 10^{-30}\,\mathrm{m}$del centro de la tierra, la incertidumbre de la velocidad estará limitada por$\Delta v \ge \frac{\hbar}{2 m_E \Delta x} = 8.5 \cdot 10^{-30}\,\mathrm{\frac m s}$.

${}^2$El estado ligado es importante aquí en la medida en que es sencillo utilizar un paquete de ondas gaussianas y el aparato de Ehrenfest derivado anteriormente. El problema es que una parte (exponencialmente pequeña) de la probabilidad escapará al infinito, porque la probabilidad de un momento arbitrariamente alto no es cero. Entonces, la solución no será una superposición de soluciones de estado ligado, sino que incluirá algunos coeficientes en el espectro continuo.

Sí, no y no.

Sí en el sentido de que en la medida en que todo esté descrito por la mecánica cuántica evolucionará según la ecuación de Schrödinger.

No en el sentido de que los planetas están compuestos por muchas partículas, y la ecuación tendrá$3N$dimensiones que describen la función de onda conjunta. También tendrá muchos términos de interacción complicados (y dado que estamos hablando de fermiones, en realidad será la ecuación de Dirac). Por lo tanto, no será un análogo del simple electrón alrededor del protón que los libros de texto de ecuaciones esféricamente simétricas resuelven para el hidrógeno, sino una enorme versión monstruosa que probablemente esté lejos de lo que consideró el examen. Sabemos empíricamente que el movimiento planetario se promedia muy bien en la órbita clásica, pero la razón por la que eso sucede es independiente del marco de la ecuación de Schrödinger.

Finalmente, no en el sentido de que las órbitas adecuadas requieren relatividad general y, por lo tanto, son incompatibles con la mecánica cuántica. Uno puede tratar de resolver la ecuación de Schrödinger en un espacio-tiempo de Schwartzschild (es decir, asumir que el planeta no tiene ningún efecto sobre el cuerpo central) como un modelo semiclásico: esto produce un resultado similar al de un átomo de hidrógeno para planetas de "partículas" sin componentes. Pero obviamente esto es solo una aproximación ya que habrá una reacción inversa en el cuerpo central.

En un examen me preguntaron si la ecuación de Schrödinger se puede usar para describir el movimiento planetario y mi respuesta fue "No, porque las soluciones son funciones de onda que dan probabilidades, pero todo se puede medir exactamente para objetos grandes".

Hay algunos problemas con tu respuesta. Primero, las funciones de onda no solo describen probabilidades. En algunas situaciones, el módulo cuadrado de la función de onda obedece las reglas de probabilidad, pero en muchos experimentos no:

https://arxiv.org/abs/math/9911150

En segundo lugar, no está claro qué quiere decir con "todo se puede medir exactamente para objetos grandes". La mecánica cuántica establece que las incertidumbres en la posición y el momento obedecen a la siguiente desigualdad$\Delta x\Delta p \geq \hbar$. No creo que los astrónomos midan los planetas con una precisión lo suficientemente alta como para medir un efecto tan pequeño.

En tercer lugar, la mecánica cuántica se ha aplicado a la dinámica planetaria:

https://arxiv.org/abs/quant-ph/9612037

La mecánica cuántica predice que los objetos grandes como los planetas no sufrirán interferencias debido a la decoherencia causada por la interacción con otros sistemas, como la luz que incide sobre el planeta en cuestión.

Luego leí este artículo que sugería que debería ser posible. ¿Cuál sería el hamiltoniano y cómo obtenemos resultados definitivos en lugar de probabilidades?

El artículo al que se vinculó no es relevante para el problema que planteó, ya que describe la ecuación de Schrödinger como una descripción aproximada de una carga de partículas que interactúan, no como una descripción de una sola partícula u objeto como se usa en la mecánica cuántica.