Mecánica: momento angular del disco

Los componentes del momento angular del disco.$\vec{L}_D$dada en$(e^*_1\,,e^*_2\,,e^*_3)_P$sistema de coordenadas son:

$$\vec{L}_D=\vec{L}_P+\Theta_0\,\vec{\omega}_{rel}$$

con$\vec{L}_P=\vec{r}_P\times m\,\vec{v}_P$obtenemos:

$$\vec{L}_D=\vec{r}_P\times m\,\vec{v}_P+\Theta_0\,\vec{\omega}_{rel}\tag 1$$

$\vec{v}_P$es la velocidad en el punto$p\quad$,$\vec{v}_P=\vec{\omega}_f\times \vec{r}_P$

Con:

$\vec{r}_P=\begin{bmatrix} -l\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix}$

$\vec{\omega}_{rel}=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \omega_r\\ \end{bmatrix}$

$\vec{\omega}_{f}=\begin{bmatrix} 0\\ \omega_f\\ 0\\ \end{bmatrix}$

Los componentes de la ecuación del momento angular del disco (1)

$\vec{L}_D=\begin{bmatrix} 0\\ m\,l^2\,\omega_f\\ \Theta_0\,\omega_r\\ \end{bmatrix}$

Para$\vec{\omega}_f\parallel \vec{\omega}_{rel}$

$\Rightarrow$

$\vec{\omega}_{f}=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \omega_f\\ \end{bmatrix}$

obtienes para los componentes del momento angular del disco

$\vec{L}_D=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ m\,l^2\,\omega_f+\Theta_0\,\omega_r\\ \end{bmatrix}$

La dirección del movimiento de rotación del disco alrededor de su centro apunta en una dirección perpendicular a la dirección de rotación del eje, es decir, el vector de momento angular para la rotación alrededor del eje es ortogonal al vector de momento angular alrededor del centro del disco. En este caso, puede usar la adición de vectores de momento angular. El momento angular total dice:

$\vec L = \vec L_{shaft} + \vec L_{center}$

La contribución debida a la rotación del eje está dada por$\vec L_{shaft} = (l\vec{e_1^*}) \times (mv \vec{e_3^*})$, donde la velocidad de rotación$v$tiene magnitud$v = l \omega_f$.

Al evaluar el producto vectorial, tendrá un vector de momento angular que apunta a la dirección$\vec{e_2^*}$. La Rotación alrededor del Centro será paralela a la dirección$\vec{e_3^*}$. El momento angular resultante$\vec L$se expresará como combinación lineal de dos vectores unitarios. Para determinar la Magnitud, simplemente tome su valor absoluto (Teorema de Pitágoras para longitudes vectoriales).

Ahora a su segunda pregunta: si las dos velocidades angulares son paralelas, puede proceder de la misma manera. En este caso habrá$\vec L_{shaft} \parallel \vec{e_2^*}$, mientras que la Magnitud es la misma. El momento angular resultante estará apuntando exactamente en la dirección de$\vec{e_2^*}$. Obtendrás lo mismo que obtendrías con el teorema de los ejes paralelos.