¿Puede el valor esperado ser imaginario?

Question

¿Puede el valor esperado ser imaginario?

Paradoja 101

Estaba resolviendo un problema y el resultado del valor esperado de un operador resultó ser $-\frac{\hbar}{4}$ $i$ . ¿Es posible este resultado? Parece contra intuitivo.

qmecanico

↑

$\uparrow$ ¿Qué operador?

qmecanico

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¿Puede el valor esperado ser imaginario?

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Valter Moretti · Answer 1

Si $A$ es autoadjunto, puedes definir $f(A)$ como un observable de valor complejo , donde $f: \mathbb R \to \mathbb C$ es una función medible de valor complejo :

F (A) := \int_{σ (A)} F (X) d {PAG}^{(A)} (X),

$f(A) := \int_{\sigma(A)} f(x) dP^{(A)}(x)\:,$

P^{(A)}

$P^{(A)}$ siendo la medida espectral (valorada por proyector) de

A

$A$ .

N = f (A)

$N= f(A)$ es un operador normal cerrado y admite una descomposición espectral

P^{(N)}

$P^{(N)}$ apoyado en el espectro

σ (N) \subset C

$\sigma(N)\subset \mathbb C$ de

N

$N$ y construido de

P^{(A)}

$P^{(A)}$ y

f

$f$ . Es posible definir el valor esperado de

N

$N$ referido a un estado puro representado por un vector normalizado

ψ

$\psi$ perteneciente al dominio

D (N)

$D(N)$ de

N

$N$

⟨ norte ⟩_{ψ} := \int_{σ (norte)} z d ⟨ ψ | {PAG}^{(norte)} (z) ψ ⟩ = ⟨ ψ | norte ψ ⟩

$\langle N\rangle_\psi := \int_{\sigma(N)} z d\langle \psi| P^{(N)}(z) \psi \rangle = \langle \psi | N \psi \rangle$ desde

σ (N)

$\sigma(N)$ incluye números complejos, en general,

⟨ N ⟩_{ψ}

$\langle N\rangle_\psi$ es un número complejo.

En resumen, los valores esperados complejos existen tan pronto como define observables de valor complejo. No hay ninguna obstrucción matemática para hacerlo. Sin embargo, siempre se puede descomponer un observable complejo $N$ en un par de observables reales estándar (autoadjuntos) (mutuamente compatibles), $(N+N^*)/2$ y $-i(N-N^*)/2$ y utilizar la teoría estándar (prestando atención a algunas sutilezas relativas a los dominios). Esta forma es más fácil y, supongo, es la razón por la cual los observables complejos no aparecen muy a menudo en la literatura.

lindo. ¿Hay algún caso en el que un observable de valor complejo dé una idea de un sistema?

fénix87 · Answer 2

Si el operador no es autoadjunto, entonces esta es una posibilidad. Si busca en phys.SE, encontrará preguntas sobre el valor esperado de xp en el caso del QHO, y esto resulta ser imaginario

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Paradoja 101

qmecanico

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Respuestas (2)

Valter Moretti

difeomorfismo

fénix87

Encontrar T†T†T^\daga donde Tφ(x)=φ(x+a)Tφ(x)=φ(x+a)T\varphi(x)=\varphi(x+a)

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