¿Deberían considerarse constantes los vectores de estado?

Question

¿Deberían considerarse constantes los vectores de estado?

Kastor

Por el principio de superposición, un vector de estado se puede definir como

\begin{aligned} ψ (X) & = C_{1} ψ_{1} (X) + C_{2} ψ_{2} (X) + \dots + C_{norte} ψ_{norte} (X) \\ | ψ ⟩ & = (\begin{matrix} C_{1} \\ C_{2} \\ ⋮ \\ C_{norte} \end{matrix}) = C_{1} | ε_{1} ⟩ + C_{2} | ε_{2} ⟩ + \dots + C_{norte} | ε_{norte} ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \psi(x) &= c_1 \psi_1(x) + c_2 \psi_2(x) + \cdots + c_n \psi_n(x) \\ \lvert\psi\rangle &= \begin{pmatrix}c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end{pmatrix} = c_1\lvert\varepsilon_1\rangle + c_2\lvert\varepsilon_2\rangle + \cdots + c_n\lvert\varepsilon_n\rangle \end{align}$ dónde

c_{n} = ⟨ ε_{n} | ψ ⟩

$c_n = \langle \varepsilon_n\lvert \psi\rangle$ . Además, el vector de estado puede representar una función de onda en un caso continuo como en

\begin{aligned} (1) & | ψ ⟩ & = (\begin{matrix} ψ (X \to - \infty) \\ ⋮ \\ ψ (X = 0) \\ ⋮ \\ ψ (X = 0.000 \dots 01) \\ ψ (X = 0.000 \dots 02) \\ ⋮ \\ ψ (X \to \infty) \end{matrix}) \\ = ψ (X \to - \infty) | X \to - \infty ⟩ + \dots + ψ (X = 0) | X = 0 ⟩ + \dots \end{aligned}

$\begin{align} \lvert\psi\rangle &= \begin{pmatrix}\psi(x\to -\infty) \\ \vdots \\ \psi(x=0) \\ \vdots \\ \psi(x = 0.000\ldots 01) \\ \psi(x = 0.000\ldots 02) \\ \vdots \\ \psi(x\to\infty)\end{pmatrix} \tag{1} \\ &= \psi(x\to -\infty)\lvert x\to -\infty\rangle + \cdots + \psi(x = 0)\lvert x=0\rangle + \cdots \end{align}$

Mi primera pregunta es, en la secuencia de expresiones

\begin{aligned} ⟨ ψ | ψ ⟩ & = \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} (X) ψ (X) d X \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} ⟨ X | ψ ⟩^{*} ⟨ X | ψ ⟩ d X \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} ⟨ ψ | X ⟩ ⟨ X | ψ ⟩ d X \\ = ⟨ ψ | \int_{- \infty}^{+ \infty} | X ⟩ ⟨ X | d X | ψ ⟩ \\ = ⟨ ψ | \hat{1} | ψ ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \langle\psi\lvert\psi\rangle &= \int_{-\infty}^{+\infty}\psi^{*}(x)\psi(x)\ \mathrm{d}x \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}\langle x\lvert\psi\rangle^* \langle x\lvert\psi\rangle\ \mathrm{d}x \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}\langle\psi\lvert x\rangle \langle x\lvert\psi\rangle\ \mathrm{d}x \\ &= \color{red}{\langle\psi\lvert}\int_{-\infty}^{+\infty}\lvert x\rangle \langle x\rvert\ \mathrm{d}x\ \color{red}{\lvert\psi\rangle} \\ &= \langle\psi\rvert \hat{\mathbb{1}}\lvert\psi\rangle \end{align}$ con

\hat{1} = \int_{- \infty}^{+ \infty} d x | x ⟩ ⟨ x |

$\hat{\mathbb{1}} = \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}x\ \lvert x\rangle\langle x\rvert$ , ¿por qué se puede sacar el vector de estado de la integral?

Tengo una idea pero creo que debe estar mal:

Como se muestra en la ecuación (1), el vector de estado es un conjunto de valores tales que cada elemento es el valor de la función de onda, por ejemplo $\psi(0)$ , $\psi(0.002)$ , etc. Por lo tanto, se puede considerar como una constante ya que cada elemento nunca cambiará. Por lo tanto, se puede sacar de la integral.

Sin embargo, esta idea no logra explicar el caso observable. Considere un operador que contiene un componente de cantidad de movimiento, un operador diferencial, $\hat{Q}(x, \frac{\hbar}{i}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x})$ . El valor esperado de este operador es

\begin{aligned} ⟨ \hat{q} ⟩ & = \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} (X) \hat{q} ψ (X) d X \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} ⟨ X | ψ ⟩^{*} \hat{q} ⟨ X | ψ ⟩ d X \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} ⟨ ψ | X ⟩ \hat{q} ⟨ X | ψ ⟩ d X \\ = ⟨ ψ | \int_{- \infty}^{+ \infty} | X ⟩ \hat{q} ⟨ X | d X | ψ ⟩ \\ (2) & = ⟨ ψ | \int_{- \infty}^{+ \infty} d X | X ⟩ ⟨ X | \hat{q} | ψ ⟩ \\ = ⟨ ψ | \hat{1} \hat{q} | ψ ⟩ \\ = ⟨ ψ | \hat{q} | ψ ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \langle\hat{Q}\rangle &= \int_{-\infty}^{+\infty}\psi^*(x)\hat{Q}\psi(x)\ \mathrm{d}x \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}\langle x\lvert\psi\rangle^*\hat{Q}\langle x\lvert\psi\rangle\ \mathrm{d}x \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}\langle\psi\lvert x\rangle\hat{Q}\langle x\lvert\psi\rangle\ \mathrm{d}x \\ &= \color{red}{\langle\psi\rvert}\int_{-\infty}^{+\infty}\lvert x\rangle\hat{Q}\langle x\rvert\ \mathrm{d}x\ \color{red}{\lvert\psi\rangle} \\ &= \langle\psi\rvert\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}x\ \lvert x\rangle\langle x\rvert\color{blue}{\hat{Q}}\lvert\psi\rangle \tag{2} \\ &= \langle\psi\rvert\hat{\mathbb{1}}\hat{Q}\lvert\psi\rangle \\ &= \langle\psi\rvert\hat{Q}\lvert\psi\rangle \end{align}$ Si el vector de estado es constante, debería dar cero cuando un operador de cantidad de movimiento actúa sobre él, y la representación de Dirac fallará.

Entonces, si no es una constante, ¿cómo se puede sacar de la integral?
Mi segunda pregunta es que, en la ecuación (2), ¿por qué el operador puede $\hat{Q}$ omitir el $\langle x\rvert$ vector y actuar sobre el vector de estado?

david z

Estoy editando esto para hacerlo más legible.

psicópata

Te recomiendo encarecidamente que leas Modern Quantum Mechanics de Sakurai. Primero, vaya a las páginas 10 a 25, que le aclararán todo lo relacionado con sujetadores y calzoncillos. Luego lea del 51 al 53 para entender cómo la función de onda entra en la historia.

marzo

"Si el vector de estado es constante, debería dar cero cuando un operador de cantidad de movimiento actúa sobre él..." ¿Qué te hace decir eso?

Respuestas (1)

¿Deberían considerarse constantes los vectores de estado?

Te recomiendo encarecidamente que leas Modern Quantum Mechanics de Sakurai. Primero, vaya a las páginas 10 a 25, que le aclararán todo lo relacionado con sujetadores y calzoncillos. Luego lea del 51 al 53 para entender cómo la función de onda entra en la historia.
"Si el vector de estado es constante, debería dar cero cuando un operador de cantidad de movimiento actúa sobre él..." ¿Qué te hace decir eso?

Wolpertinger · Answer 1

En primer lugar, me gustaría señalar que lo que ha escrito en la ecuación (1) no es la forma más general de escribir el vector de estado. En su lugar, ha optado por escribirlo en términos de cierta base para el espacio de Hilbert , a saber, la base de posición en este caso. Pero a priori el vector de estado es un objeto en el espacio de Hilbert y es independiente de la base. Lo que depende de la base son los componentes (es decir, los coeficientes de expansión del vector en la base) que anotaste en (1).

Esto explica por qué $\lvert\psi\rangle$ sale de la integral. El vector de estado en sí es independiente de la base que haya elegido. Podrías escribir esto como

| ψ ⟩ = \int_{- \infty}^{+ \infty} | X ⟩ ⟨ X | ψ ⟩ d X = \int_{- \infty}^{+ \infty} | X ⟩ ψ (X) d X

$\rvert \psi\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} \lvert x\rangle\langle x\rvert \psi\rangle \mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{+\infty} \lvert x\rangle \psi(x) \mathrm{d}x$ . Así que aquí

ψ (x)

$\psi(x)$ son los componentes de

| ψ ⟩

$\rvert \psi\rangle$ en la base x. Tenga en cuenta que dado que la x está integrada sobre ella, no es "visible" desde fuera de la integral, es decir

| ψ ⟩

$\rvert \psi\rangle$ no lo sabe. Podríamos insertar eso en su expresión para que el producto interno dé:

⟨ ψ | ψ ⟩ = ⟨ ψ | \int_{- \infty}^{+ \infty} | X ⟩ ⟨ X | d X | ψ ⟩ = \int_{- \infty}^{+ \infty} ⟨ X^{'} | ψ (X^{'}) d X^{'} \int_{- \infty}^{+ \infty} | X ⟩ ⟨ X | d X \int_{- \infty}^{+ \infty} | X^{″} ⟩ ψ (X^{″}) d X^{″}

$\langle\psi\rvert\psi\rangle=\langle\psi\rvert\int_{-\infty}^{+\infty} \lvert x\rangle\langle x\rvert \mathrm{d}x\ \rvert \psi\rangle= \int_{-\infty}^{+\infty} \langle x'\rvert \psi(x') \mathrm{d}x'\int_{-\infty}^{+\infty} \lvert x\rangle\langle x\rvert \mathrm{d}x\ \int_{-\infty}^{+\infty} \lvert x''\rangle \psi(x'') \mathrm{d}x''$

Tenga en cuenta que x, x' y x'' son variables ficticias y la información de que es la base x se encuentra por escrito $\lvert x\rangle$ en las integrales.

Ahora para su ecuación (2) se aplica lo mismo. El operador a priori vive en el espacio de Hilbert, actúa sobre los vectores de estado. Pero puedes elegir expresarlo en una cierta base:

\hat{q} = \int_{- \infty}^{+ \infty} \hat{q} | X ⟩ ⟨ X | d X = \int_{- \infty}^{+ \infty} q (X) | y (X) ⟩ ⟨ X | d X = \int_{- \infty}^{+ \infty} q (X) | X ⟩ ⟨ X | d X

$\hat{Q} = \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{Q}\lvert x\rangle\langle x\rvert \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{+\infty} Q(x) \lvert y(x)\rangle\langle x\rvert \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{+\infty} Q(x) \lvert x\rangle\langle x\rvert \mathrm{d}x$

donde el último paso solo se aplica si el operador es diagonal en la base x (para los estados que no tenemos esta complicación, solo agregué este paso para mostrar la similitud con la expansión del estado).

¿Deberían considerarse constantes los vectores de estado?

Kastor

david z

psicópata

marzo

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Wolpertinger

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