¿Llevando el problema de valor propio hamiltoniano al espacio de posiciones?

Me está costando entender notadamente la relación de:

H ^ | ψ ⟩ = mi | ψ ⟩
y
H ^ ψ ( X ) = mi ψ ( X )

Aquí está mi proceso de pensamiento: a partir de la ecuación:

H ^ | ψ ⟩ = mi | ψ ⟩
H ^ ∫ d X | X ⟩ ⟨ X | ψ ⟩ = mi ∫ d X | X ⟩ ⟨ X | ψ ⟩
Lo sabemos
⟨ X | ψ ⟩ = ψ ( X )
en nuestra posición de representación. ¿Significa esto que H ^ en notación de Dirac se traduce a H ^ ∫ d X | X ⟩ en la representación del cargo? Hay algo en esto que me parece bastante extraño.

Respuestas (2)

Es mejor hacerlo de esta manera. Comience con la expresión sin referencia a ninguna base.

H ^ | ψ ⟩ = mi | ψ ⟩

Entonces trae ⟨ X |

⟨ X | H ^ | ψ ⟩ = ⟨ X | mi | ψ ⟩

Tienes razón en tener ⟨ X | ψ ⟩ = ψ ( X ) , por lo que el lado derecho con escalar mi fácilmente se convierte mi ψ ( X )

En el lado izquierdo explotamos nuestra relación de completitud

⟨ X | H ^ | ψ ⟩ = ∫ ⟨ X | H ^ | X ′ ⟩ ⟨ X ′ | ψ ⟩ d X ′ = ∫ ⟨ X | H ^ | X ′ ⟩ ψ ( X ′ ) d X ′

Desde H ^ = H ^ ( X ^ , PAG ^ ) , los elementos de la matriz de H ^ en la base de la posición se dan como

⟨ X | H ^ | X ′ ⟩ = d ( X ′ − X ) H ( X ′ , d d X ′ )

Por lo tanto, terminamos con

⟨ X | H ^ | ψ ⟩ = H ψ ( X )

Y así tenemos

H ψ ( X ) = mi ψ ( X )

Tal vez el paréntesis ayudaría. La última expresión es (H psi)(x)= E psi(x)
@lalala Creo que está bien. Al final H es un operador diferencial que actúa sobre la función ψ ( X ) y es la forma sobre la que pregunta el OP y parece estar familiarizado.

Tenga en cuenta que, formalmente, el espacio de Hilbert en la representación de la posición es L 2 ( R norte ) , de modo que | ψ ⟩ es de hecho un L 2 -función.

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