¿Puede cualquier estado crítico 1D ser representado por una red de tensores MERA?

Mi comprensión del Ansatz de renormalización de entrelazamiento multiescala (MERA) es que está diseñado para representar estados altamente entrelazados, pero de baja complejidad.

¿Es MERA capaz de representar estados de alta complejidad? Por ejemplo, ¿podría representar el estado fundamental de la historia de un hamiltoniano de Feynman-Kitaev que codifica algún cálculo? ¿Somos capaces de describir estos estados (en teoría) usando un MERA, pero en la práctica encontrar las isometrías y unitarios necesarios es computacionalmente intratable? ¿Qué nos impide poder describir estos estados?

Respuestas (1)

Depende de lo que quiera decir con "estados de alta complejidad" y con "altamente enredado".

MERA puede describir estados que tienen una escala de entrelazamiento mi ∝ registro ⁡ norte , dónde norte es la longitud de la cadena, con una dimensión de enlace fija x .

Si está hablando de hamiltonianos de estado de historia para un problema de QMA, o estados como los de arXiv:1408.1657 , tienen un enredo que escala algebraicamente con la longitud de la cadena, mi ∝ norte α -- esto requiere una dimensión de enlace lo suficientemente grande x para reproducir este enredo, esto es, x escalará como Exp ⁡ ( norte α ) , y por lo tanto es ineficiente.

Tenga en cuenta que todos estos estados son estados básicos de hamiltonianos locales y, en ese sentido, son de baja complejidad (Kolmogorov).

¡Gracias por la respuesta! ¿Existen técnicas de red de tensores que se puedan usar para representar estados históricos de manera eficiente (del tipo de los problemas de QMA)? Además, ¿existe una referencia para la entropía de los estados históricos de QMA que tienen una escala de entropía como norte α ?
@user138901 En cuanto al estado de la historia, es una superposición de configuraciones a la vez t en el cómputo. Simplemente ejecute un circuito que crea un estado altamente enredado. (Enredo = tamaño del circuito, tamaño del sistema = tamaño del circuito * tiempo total = poli(tamaño del circuito)). Con respecto a la primera pregunta, deberían existir técnicas de red de tensores para eso, al considerar el circuito para el estado en el tiempo t como una red de tensores, y luego superponiendo los diferentes tiempos (red de tensores para un estado W). Pero ¿por qué querrías eso?
Estoy tratando de encontrar un esquema de renormalización para una codificación hamiltoniana de un cálculo QMA (o similar). Me preguntaba si uno podría representar el estado de la historia del estado fundamental como un MERA, luego aplicar un esquema de renormalización de la manera habitual (usando los superoperadores ascendentes). Sin embargo, si necesitamos una superposición de MERA (u otra red de tensores) para hacer esto, ¿funcionaría este esquema de renomalización? ¿Hay otros esquemas de renormalización que podrían funcionar para esto? Solo lo necesitaría para un hamiltoniano 1D.
@ user138901 ¿Qué significa "esquema de renormalización para una codificación hamiltoniana de un cálculo de QMA" ? ¿Cuáles serían sus propiedades? ¿Qué le haría al estado histórico? Ad hoc esto no parece tener mucho sentido para mí.
Idealmente, el esquema RG sería un esquema de espacio real, similar al bloqueo, que preservaría la energía del estado fundamental (o el subespacio de baja energía) del hamiltoniano mientras reduce la cantidad de espines/partículas en el sistema. Dado que la energía del estado fundamental se conserva, determinar el estado fundamental de este nuevo hamiltoniano renormalizado sigue siendo difícil para QMA. Algo como eso. Parecía que MERA era prometedor ya que, si pudiéramos describir el estado histórico del estado fundamental como MERA, entonces MERA proporciona un esquema de renormalización del espacio real natural con propiedades similares.
@ user138901 Pero un hamiltoniano QMA tiene un tamaño finito. Si vuelve a normalizar, eventualmente terminará con un hamiltoniano pequeño (soluble). ¿Cómo puede ser QMA-difícil? ¿Entonces su esquema RG tendría que ser QMA difícil?
"¿Entonces su esquema RG tendría que ser QMA difícil?" -- ¡exactamente! Solo quiero demostrar la existencia de un esquema que podría realizarse en teoría, con una dimensión espacial de Hilbert local fija manteniendo una alta precisión. Por ejemplo, podríamos decir que, en teoría, podríamos usar MERA para crear el estado, pero en realidad encontrar las unidades e isometrías necesarias para hacerlo sería difícil para QMA (obviamente, como se indicó anteriormente, MERA en general no es capaz de describir dice la historia, pero la idea sigue en pie).
@ user138901 Esto suena bastante difuso. Lo que podría imaginar es un paso RG que en la verificación de QMA reemplaza dos pasos computacionales por uno. Esto equivaldría a algún tipo de esquema RG (aunque esto solo volvería a normalizar el grado de libertad de "tiempo", no los qubits en la verificación. No estoy seguro de cómo este último podría volver a normalizarse de manera significativa).
¡Ese también podría ser un enfoque interesante para explorar! Seguiré tratando de encontrar un esquema RG razonable que funcione para un estado de historia hamiltoniano. Gracias por la ayuda Norberto!
¿Puede cualquier estado crítico 1D ser representado por una red de tensores MERA?
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