Encontrar el estado fundamental del código tórico hamiltoniano

El$A$operadores y el$B$Todos se desplazan entre sí porque siempre comparten un número par de sitios y, por lo tanto, un número par de matrices de Pauli. Por lo tanto, todas estas son cantidades conservadas y pueden reemplazarse por su valor esperado. El estado fundamental es el estado con valores propios$A = 1 = B$en unidades donde$\sigma$es una matriz de Pauli.

En términos de giros, la situación es un poco menos trivial. Considere las configuraciones que satisfacen la restricción$B = 1$, trabajando en base z. Esto requiere que los giros tengan un número par de giros hacia arriba y un número par de giros hacia abajo (todos arriba, todos abajo o dos y dos). Sin embargo, si uno intenta hacer un par de giros hacia arriba, encontrará que en las estrellas vecinas (cruces) necesitará otro giro invertido y, por lo tanto, las únicas configuraciones posibles son aquellas en las que los giros hacia abajo forman bucles cerrados en el fondo de arriba. gira o (equivalentemente) viceversa. Por lo tanto, el estado fundamental tiene que ser una superposición de estos estados con bucles en ellos.

Ahora considere la restricción$A=1$. Escribiendo$\sigma^x$en el$z$base deja en claro que el operador invierte el giro (esto también puede entenderse como debido a la anticonmutación de$\sigma^z$y$\sigma^x$). Por lo tanto,$A$voltea los giros en una plaqueta. Como era de esperar, esto nos lleva a otro estado que obedece a la$B=1$restricción; la excitación se puede ver como un pequeño bucle de giros hacia arriba. Además, podemos actuar con otro$A$cerca y hacer el bucle más grande, y así crear bucles de cualquier tamaño y forma actuando con el$A$operadores.

El estado fundamental$|\psi_0\rangle$del código tórico es la superposición de igual peso (magnitud y fase) de todas las configuraciones de bucle de giros hacia abajo en el fondo de giros hacia arriba. Uno podría llamarlo un gas de bucle cuántico. Es fácil ver que esto obedece a la primera restricción porque cada configuración de bucle en sí misma tiene$B=1$. Por otra parte, cuando se actúa con$A_p$cada configuración de bucle se cambia a otra. Sin embargo, es fácil probar que este es el estado fundamental ya que para un$A_p$esto simplemente intercambia dos configuraciones de bucle que son iguales en todas partes excepto en plaquette p y tienen configuraciones de espín opuesto en p. Estas dos configuraciones son ambas parte de la suma, con el mismo peso, por lo que el estado permanece sin cambios por esta acción. Por lo tanto$A|\psi_0\rangle = |\psi_0\rangle$y$A=1$.

Finalmente, tenga en cuenta que incluso se puede ver que con condiciones de contorno abierto este estado es único. Esto se debe a que el estado debe estar hecho de configuraciones de bucle y, por lo tanto, es una superposición de ellas (por el$B=1$restricción). Pero, las diferentes configuraciones de bucle se pueden obtener del estado sin bucles actuando con un producto de$A$los operadores crean los bucles, una plaqueta a la vez. Por lo tanto, las diferentes configuraciones deben tener todas el mismo coeficiente que la configuración sin bucle, ya que la acción del producto de$A$s no puede cambiar el estado (también tiene valor propio 1 ya que cada uno de sus términos lo tiene) e intercambia esas dos configuraciones. Sin embargo, en un cilindro (o toro), hay bucles que no pueden ser creados por productos del local.$A$operadores - son los lazos alrededor que enrollan la dimensión circular. Por lo tanto, existe una degeneración del estado fundamental en estos casos correspondiente al número de configuraciones disponibles para los bucles sin restricciones.