¿Diferencia entre DMRG (grupo de renomalización de matriz de densidad) y MPS (estados de productos de matriz)?

Estoy aprendiendo DMRG recientemente. Noté que hay muchos documentos tanto en el enfoque DMRG como en el enfoque MPS (como el estado del producto de matriz variacional (VMPS) de F. Verstraete y JICirac). En mi opinión, no hay una gran diferencia entre estos dos enfoques. Una pregunta que se puede simular con MPS también se puede hacer con DMRG. Entonces, en la computación práctica en sistemas 1D, creo que se prefiere DMRG por su simplicidad. ¿Tiene el enfoque mps una ventaja típica frente a DMRG en la simulación práctica?

Los códigos DMRG modernos se escriben principalmente como vMPS, porque vMPS es conceptualmente más simple. Pero, por supuesto, cuál es más simple es una cuestión subjetiva, hasta cierto punto.
@MengCheng Creo que ahora entiendo mejor estos dos enfoques. MPS es la razón por la que DMRG puede obtener una precisión tan buena por su captura de bajo enredo de sistemas 1D. Mientras que VMPS es diferente con DMRG cuando se simulan sistemas en condición de borde PBC. Creo que VMPS tiene más que DMRG. DMRG es una versión especial de MPS de alguna manera.

Respuestas (3)

El estado del producto de matriz (MPS) es una forma de escribir estados cuánticos de muchos cuerpos. Es una representación natural para infinitos estados 1D que la entropía de entrelazamiento bipartito obedece a la ley del área ( S = C o norte s t a norte t ). Esto no significa que no pueda representar sistemas finitos que no sean 1D y S = F ( L ) , donde L es alguna dimensión del sistema. Dependiendo de la dimensionalidad y el tamaño del sistema, un MPS puede aproximarse más o menos eficientemente al estado completo.

Es importante comprender que, si bien es posible describir el estado completo de muchos cuerpos con precisión usando mucha menos información que la que tiene el estado completo ("mucha" significa exponencialmente menos), no es obvio que sea posible hacerlo dentro de un algoritmo exponencialmente más eficiente que la diagonalización exacta.

El grupo de renormalización de la matriz de densidad (DMRG) es un método eficiente para encontrar la representación MPS óptima del estado de muchos cuerpos. Por ejemplo, puede apuntar con precisión a estados fundamentales de sistemas 1D con brechas. Sin embargo, eso solo roza la superficie de su aplicabilidad. Es importante señalar aquí que DMRG puede apuntar a estados generales que pueden ser bien aproximados por MPS y no solo a estados básicos, sin embargo, para hacer eso, debe hacer Shift-Inversion con algunos A X = b solucionador Recientemente ha habido mucho progreso en la investigación en esta dirección, utilizando el método DMRG para apuntar a estados altamente excitados (densidad de energía finita) en sistemas de localización de muchos cuerpos (MBL), y el método ahora se llama DMRG-X (con "X" representa estados excitados). También es importante señalar que DMRG puede no ser el algoritmo más eficiente, pero es el algoritmo más común para optimizar MPS.

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@EverettYou DMRG-X no es la única forma de apuntar a los estados de salida de MBL. He estado usando un algoritmo hecho por mí mismo que usa un gradiente conjugado no lineal para invertir localmente el estado. Entonces, el estado invertido tiene un estado fundamental que puede elegirse específicamente mediante un desplazamiento inicial del hamiltoniano, y la convergencia es rápida. Si desea utilizar una inversión similar a CG, necesita un hamiltoniano de signo definido que puede lograr utilizando el hamiltoniano cuadrado o resolviendo las ecuaciones normales. El hamiltoniano es simétrico, por lo que resolver el hamiltoniano cuadrado es suficiente y resulta ser más preciso.
@AlexisMichailidis Claro, no dije que DMRG-X es la única forma de apuntar a los estados propios de MBL. Se han desarrollado muchos métodos el año pasado, incluidos los métodos basados ​​en MPS o basados ​​en RG.

MPS son funciones de onda ansatz que deben optimizarse para describir el estado fundamental de un hamiltoniano determinado.

DMRG es uno de los mejores métodos que tenemos para optimizar el MPS. Por lo tanto, puede pensar en MPS como un marco y DMRG como un algoritmo. Por supuesto, no es así como históricamente se desarrollaron las cosas, pero esa es la reinterpretación actual.

"DMRG es el método óptimo para optimizar el MPS": ¿Por qué?
@NorbertSchuch Eso es lo que escuché. Pero seguro que eres el experto por aquí, y si mi declaración es incorrecta, felizmente modificaría mi respuesta.
La optimización secuencial de los tensores, como se hace en DMRG, es ciertamente un método que funciona muy bien en la práctica. Sin embargo, no diría que es óptimo en general. (Por ejemplo, uno puede construir instancias en las que puede atascarse). No creo que tengamos una buena idea de cuál sería el método óptimo (y, además, esto podría depender de la cifra de mérito).
@NorbertSchuch: Ok, no estaba seguro si había alguna prueba de que es el método óptimo. Cambiaré eso por "uno de los mejores métodos que tenemos" entonces. Gracias.
Ni siquiera está claro que la optimización secuencial de MPS esté encontrando el óptimo global. (Uno puede configurar problemas + condiciones iniciales donde tales optimizaciones fallan: arxiv.org/abs/quant-ph/0609051 ) Tenga en cuenta que hay un algoritmo convergente demostrable que, sin embargo (a partir de ahora, al menos) es mucho menos práctico: arxiv .org/abs/1307.5143

Creo que mps es la estructura interna de DMRG. Y también mps es la razón por la que DMRG puede tener éxito por su captura de bajo enredo de sistemas 1D. Al considerar los sistemas en condiciones de PBC, VMPS puede lograr resultados mucho mejores que DMRG. De alguna manera, creo que DMRG no es más que una versión especial del enfoque VMPS. La teoría de DMRG radica en mps.

Históricamente, MPS se descubrió mediante la inspección de la función de onda obtenida en DMRG, y cuando se descubrió toda la potencia de MPS, DMRG se reformuló con MPS. Pero incluso con MPS, el PBC es difícil de manejar, aunque existe un método muy poderoso para el sistema infinito, generalmente llamado iDMRG.
"Históricamente, MPS se descubrió al inspeccionar la función de onda obtenida en DMRG": (en parte) no estoy de acuerdo. Los ansatz similares a MPS se conocían antes, como los estados finitamente correlacionados de Fannes-Nachtergaele-Werner (pero estoy bastante seguro de que tales ansatz se habían escrito antes).
@MengCheng "Pero incluso con MPS, el PBC es difícil de manejar": ¿qué tal el VMPS de F.Verstraete (arXiv: cond-mat/0404706) y luego mejorado por White (arXiv: 0801.1947)? En estos dos documentos, dijeron que mps en PBC puede obtener resultados mucho mejores que el DMRG tradicional, incluso tan buenos como el DMRG tradicional en OBC.
@NorbertSchuch Estoy de acuerdo contigo. MPS ha sido descubierto antes que DMRG. Pero su poder para simular sistemas cuánticos 1D se encontró en DMRG.
@NorbertSchuch Estoy de acuerdo, los estados finitamente correlacionados se escribieron aproximadamente al mismo tiempo que el DMRG original. Pero tal vez sea justo decir que la importancia de MPS en 1D se apreció completamente después de que se descubrió la relación con DMRG.
@MengCheng Ciertamente estoy de acuerdo.
El algoritmo en arXiv:0801.1947 invocó una aproximación crucial en la ecuación. 8, que truncó el producto de matrices de transferencia. Mi impresión (hablando con expertos en DMRG/MPS) es que esta forma de truncamiento rara vez se emplea en la práctica, incluso hoy en día. Tal vez @NobertSchuch pueda comentar más sobre el algoritmo.
@MengCheng He hablado con el profesor Tao Xiang. Piensa que este algoritmo de F.Verstraete(arXiv:cond-mat/0404706) y White(arXiv:0801.1947) no es muy utilizado debido a su baja eficiencia incluso mejorado por White. Tal vez tampoco sea estable al resolver el problema de valor propio generado (H x = lamda N x). Pero incluso por su baja eficiencia, F. Verstraete encontró la razón por la cual el DMRG tradicional tiene un resultado pobre en PBC (su función de onda debe aproximarse por mps en PBC, mientras que en DMRG tradicional se ha asumido que es mps en OBC incluso el sistema físico). está en PBC).
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