¿Prueba matemática de que exp(−1/|g|)exp⁡(−1/|g|)\exp(-1/|g|) siempre está relacionado con la formación de estados ligados a través de escalas?

Sé que esta función ( gramo significa acoplamiento) no es analítico en gramo = 0 , por lo que esta función solo es apreciable bajo cálculos no perturbativos, por lo que es un fenómeno no perturbativo. Esta función está presente en muchas temperaturas críticas/cruzadas como en el problema de Kondo y los superconductores . Esta función ocurre en QCD , cuando fijamos un acoplamiento físico igual a uno. siempre es eso:

mi = mi 0 mi − 1 ρ | gramo |
o, reemplazando | gramo | , gramo 2 y ρ es alguna densidad de estado.

Cuando percibimos (físicamente) que la serie perturbativa no converge (como el argumento de Dyson), tratamos nuestra serie como asintótica. Si la serie diverge como norte ! , podemos usar la suma de Borel y llegar a alguna integración sobre una función meromórfica en ( 0 , ∞ ) . Después de algunos cálculos, los polos de esta función meromórfica dan contribuciones como mi − 1 ρ | gramo | .

Desde este sitio , me parece que solo instanton hizo esta contribución (correcciones de instanton). Pero los renormalones podrían dar la misma contribución (¿no?). Los estados ligados, los estados casi ligados y los mecanismos de tunelización que conectan diferentes estados casi ligados me parece la razón de la aparición de estos términos y la divergencia del cálculo perturbativo. Pero es muy interesante que estas correcciones añadidas en los cálculos perturbativos son muy pequeñas, exponencialmente pequeñas,... una escala lejana,... la escala típica del estado ligado o el ancho de una barrera de efecto túnel que tiene un estado casi ligado.

En los ejemplos físicos que di, la temperatura de Kondo nos dice el tamaño de la nube alrededor de la impureza, la energía QCD nos da el tamaño del protón, la inestabilidad de Cooper nos da el tamaño del par electrón-electrón, un problema de doble pozo QM da la distancia de los pozos,...etc., etc. Siempre una formación de estado ligado a través de escalas. Corta distancia más pequeñas interacciones que dan estados acotados de larga distancia.

Vine con esto por intuición física. ¿Alguien puede dar una prueba matemática de eso?

No puedo dar una respuesta matemática, pero la respuesta física es completamente trivial: cada vez que algo en un modelo diverge gravemente o tiene problemas de convergencia muy difíciles como en este caso que deben corregirse, entonces el modelo simplemente está equivocado.

Respuestas (1)

1) Exp ⁡ ( − 1 / gramo ) no está necesariamente relacionado con los estados ligados. En el problema de pozo doble QM estándar, es la división, no la energía de enlace, la que es O ( Exp ⁡ ( − 1 / gramo ) ) . En las teorías de campos conformes, los instantenes pueden dar Exp ⁡ ( − 1 / gramo ) efectos a pesar de que no hay estados ligados en absoluto.

2) Los instantons son una fuente de Exp ⁡ ( − 1 / gramo ) efectos, pero hay otros. Ya mencionaste las renormalizaciones en las teorías de gauge. También el Exp ⁡ ( − 1 / gramo ) en BCS o el problema de Kondo no es de manera obvia un efecto instantáneo.

3) Hay un folklore que Exp ⁡ ( − 1 / gramo ) siempre está relacionado con alguna configuración semiclásica (como el instanton). No hay prueba de esto. Por ejemplo, no se sabe a qué campo clásico corresponde la renormalización, aunque existen algunas ideas recientes.

Doy un voto positivo ;)
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