¿Cuál es el significado del parámetro de escala QCD ΛΛ\Lambda?

Estimado cliente,$\Lambda_{\rm QCD}$es el único parámetro dimensional de QCD puro (medios puros sin materia extra).

Es dimensional y reemplaza el parámetro adimensional.$g_{\rm QCD}$, la constante de acoplamiento QCD. El proceso en el que una constante adimensional como$g$es reemplazado por uno dimensional como$\Lambda$se llama la transmutación dimensional:

http://en.wikipedia.org/wiki/Dimensional_transmutation

El constante$g$no es del todo constante, pero depende de la escala de energía característica de los procesos, esencialmente logarítmicamente. Moralmente hablando,

$$\frac{1}{g^2(E)} = \frac{1}{g^2(E_0)} + K \cdot \ln (E/E_0),$$ al menos en la aproximación principal. Porque $g$depende de la escala, es bastante cierto que cada valor de $g$se realiza para algún valor de la escala de energía $E$. En lugar de hablar de los valores de $g$para muchos valores específicos de $E$, se puede hablar del valor de $E$dónde $g$se vuelve tan grande como uno más o menos, y este valor de $E$que se conoce como $\Lambda_{\rm QCD}$aunque hay que tener un poco más de cuidado en definirlo para que sea 150 MeV y no el doble, por ejemplo.

Sí, es la escala característica de confinamiento y todos los demás procesos típicos de QCD puros, aquellos que no dependen de las masas de quarks actuales, etc. En la mayoría de las oraciones sobre la escala de QCD, incluida su cita, la constante numérica detallada no es demasiado importantes y las oraciones son válidas como estimaciones de orden de magnitud. Sin embargo, dada una definición adecuada, el valor exacto de$\Lambda_{\rm QCD}$puede determinarse experimentalmente. Con este conocimiento y dado el conocido Lagrangiano de QCD - y los métodos para calcular sus efectos cuánticos - se puede reconstruir la función completa$g(E)$.

Trabajando en la regularización dimensional, en el esquema de barras MS considere la ecuación del grupo de renormalización para el acoplamiento fuerte

$$\mu\frac{d\alpha}{d\mu}=-\beta_0\alpha(\mu)^2-\beta_1\alpha(\mu)^3-\beta_2\alpha(\mu)^4+\ldots$$

Reordenando términos obtenemos una expresión que podemos integrar

$$\frac{d\mu}{\mu}=\frac{d\alpha}{-\beta_0\alpha(\mu)^2-\beta_1\alpha(\mu)^3-\beta_2\alpha(\mu)^4+\ldots}$$

en aras de la concreción, consideremos el caso de un bucle (mi razonamiento se aplicará en general, pero las fórmulas se vuelven engorrosas) donde$\beta_1=\beta_2=\ldots=0$

$$\int{}\frac{d\mu}{\mu}=\int\frac{d\alpha}{-\beta_0\alpha(\mu)^2}$$

rendimientos de integracion

$$\ln{\frac{\mu}{r}+C_1=\frac{1}{\alpha\beta_0}}+C_2$$

$C_1$y$C_2$son constantes de integración. Podemos simplificar las cosas fusionándolas simplemente haciendo$C\equiv{}C_1-C_2$lo que nos deja con

$$\ln{\frac{\mu}{r}+C=\frac{1}{\alpha\beta_0}}$$

Tal vez te estés preguntando acerca de la$r$. Hemos integrado una ecuación diferencial de primer orden, que debería dejarnos solo con una constante de integración. los$r$proviene del hecho de que$\mu$es un parámetro dimensional, por lo que para escribir el logaritmo que aparece en la integral debemos introducir un parámetro dimensional. Es importante notar que$r$puede ser CUALQUIER parámetro dimensional (con el mismo signo que$\mu$para que el registro tenga sentido) ya que

$$\frac{d}{d\mu}\ln{\frac{\mu}{r}}=\frac{r}{\mu}\frac{1}{r}=\frac{1}{\mu}$$

por CUALQUIER valor de$r$.$r$simplemente desaparece después de la derivada. Así, mientras$C$será especificado por algunas condiciones iniciales en$\alpha$en algún punto$\mu_0$con$r$tenemos total libertad para elegir lo que queramos (siempre y cuando tenga el mismo signo que$\mu$).

por supuesto, diferente$r$-s nos dará diferentes$C$-s. Para simplificar las cosas, podríamos preguntarnos si siempre podemos elegir un$r$tal que$C=0$. Para ver si esto es realmente posible, supongamos que$C'$y$r'$son tales que se cumplen las condiciones iniciales. Entonces si deseamos$C$para que sea cero se debe cumplir la siguiente ecuacion

$$\ln{\frac{\mu}{r'}}+C'=\ln{\frac{\mu}{r}}$$

cuya solución es

$$r=r'e^{-C'}$$

La moraleja de la historia es que para cualquier$r'$y$C'$siempre podemos elegir$r$tal que$C=0$. De esta manera, la solución de la ecuación diferencial en la primera ecuación de esta respuesta se puede escribir (en un bucle en la función beta)

$$\ln{\frac{\mu}{r}} = \frac{1}{\alpha\beta_0} \quad \Rightarrow \quad \frac{\mu}{r} = e^{1 / \alpha\beta_0}$$

Este$r$es$\Lambda_{QCD}$. Cambiando nombres y reorganizando términos obtenemos la famosa fórmula (es posible que vea algunos$2\pi$-s flotando en algunos lugares, es solo una cuestión de cómo defines el$\beta_i$-s en la primera ecuación de la respuesta)

$$\Lambda_{QCD}= \mu e^{\frac{-1}{\beta_0\alpha(\mu)}}$$

Un punto que me gustaría hacer. Puede que hayas oído alguna vez que$\Lambda_{QCD}$es invariante del grupo de renormalización. El análisis anterior debería dejar esta afirmación muy clara, después de todo lo que hemos visto que$\Lambda_{QCD}$es, por construcción, ¡una mera constante!

Resolviendo para$\alpha$

$$\alpha(\mu)=\frac{1}{\beta_0\ln\frac{\mu}{\Lambda_{QCD}}}$$

Darse cuenta de$\mu=\Lambda_{QCD}$hace que el acoplamiento se vuelva singular. Por lo tanto vemos que$\Lambda_{QCD}$es la escala a la que se imponen los efectos no perturbadores.

Para establecer su valor numérico, de la ecuación anterior vemos fácilmente que$\alpha$define$\Lambda_{QCD}$. Por lo tanto podemos obtenerlo usando el valor experimental para$\alpha$.