Comprender los cálculos no perturbativos típicos en QFT [cerrado]

1) Los observables en la teoría de campos son funciones de correlación (ordenadas por T). Estas funciones de correlación tienen contribuciones perturbativas (P) y no perturbativas (NP), pero la relación entre los correlacionadores y los observables es obviamente la misma, independientemente de si el correlacionador está dominado por efectos P o NP. Por ejemplo, la función de correlación de las corrientes vectoriales QCD

$$\Pi_{\alpha\beta}(x) = \langle j_\alpha(x) j_\beta(0)\rangle$$ está relacionado con el famoso $R$ratio de $e^+e^-\to {\it hadrons}$encima $e^+e^-\to\mu^+\mu^-$, $$R(s)\sim \pi\, {\rm Im}\,\Pi(q^2=s+i\epsilon),$$ dónde $\Pi_{\alpha\beta}(q)=(g_{\alpha\beta}q^2-q_\alpha q_\beta)\Pi(q^2)$, y he descartado algunos factores relacionados con las cargas de quarks. La función de correlación se conoce perturbativamente a cuatro o cinco bucles (perdí la pista), y tiene una contribución de instantón calculable.

2) La teoría de la perturbación ordinaria procede expandiéndose alrededor del vacío trivial. Los efectos no perturbadores surgen de expandirse alrededor de puntos de silla no triviales,$A_\mu=A_\mu^0+\delta A_\mu$, dónde$A_\mu^0$es el campo de un (múltiple) instante, monopolo, etc. En orden adelantado, este es un cálculo completamente clásico, y en orden superior involucra propagadores en el campo de fondo de un (múltiple) instante (etc.). Puede ver estos vértices y propagadores de campos de fondo como un nuevo conjunto de reglas de Feynman.

3) Hay muchas sutilezas en la interacción de los efectos P y NP. Por ejemplo, la teoría P es en general divergente (ni siquiera Borel resumible), y cualquier intento de definir la suma perturbativa normalmente implica ambigüedades NP de la forma$\exp(-2/g)$, dónde$g$es el acoplamiento. Estas ambigüedades tienen que cancelarse frente a ambigüedades NP de orden superior, un fenómeno conocido como resurgimiento.

4) En la práctica, el truco consiste en encontrar funciones de correlación que desaparezcan en todos los órdenes en la teoría de perturbaciones, tengan efectos no perturbadores calculables y estén relacionadas con un observable físico interesante. Un posible ejemplo sería el$U(1)_A$rompecabezas en QCD, porque la diferencia de masa (se ignoran los efectos de masa de los quarks) entre el$\eta'$y el pión se desvanece en todos los órdenes en la teoría de la perturbación. Esta diferencia de masa tiene una contribución de instantones, pero no se puede calcular de forma fiable (debido al problema IR de la física de instantones en QCD).

5) Se han realizado algunos cálculos interesantes que satisfacen los criterios de 4). Estos incluyen: i) El condensado de gluino en${\cal N}=1$SUSY Yang-Mills [1] , ii) La$\eta'$masa en QCD de alta densidad [2] , iii) Ciertas funciones de correlación en QCD [3] , iv) El condensado de quarks y la constante de decaimiento de piones en QCD deformado [4] .

En cuanto a su pregunta estrecha, solo un ejemplo.

Supongamos que la ecuación PCAC ingenua para el subgrupo$U_{A}(1)$del grupo de simetría quiral global completo$U_{L}(3)\times U_{A}(3)$del QCD. esta dado por

$$\tag 1 \partial_{\mu}J^{\mu}_{5} \simeq f\partial^{2}\eta{'} = -m_{\eta{'}}^{2}f\eta{'},$$ dónde $\eta{'}$sería el noveno bosón pseudo-escalar pseudo-goldstone del QCD, $f \simeq f_{\pi}$es la cantidad asociada que determina su ancho de decaimiento, y $m_{\eta'}$es la masa generada por distinto de cero $u,d,s$-masas de quarks. Esta ingenua ecuación $(1)$, sin embargo, se modifica por la anomalía axial: $$\tag 2 f_{\pi}\partial^{2}\eta{'} \simeq -m_{\eta{'}}^{2}f_{\pi}\eta{'} + \frac{3g^{2}}{16\pi^{2}}G_{\mu\nu}^{a}\tilde{G}^{\mu\nu,a},$$ dónde $a$denota el índice de color y $G$es la intensidad del campo de gluones. ecuación $(2)$nos dice que la anomalía genera un término de interacción efectivo $$L_{\text{int}} = \frac{3g^{2}}{16 \pi^{2}}\frac{\eta{'}}{f_{\pi}}G_{\mu\nu}^{a}\tilde{G}^{\mu\nu,a}$$ Uno puede obtener la corrección de la propia energía de $\eta'$calculando la siguiente función de Green: $$\Pi(p^{2}) \equiv \frac{9g^{4}}{256 \pi^{4}f_{\pi}^{2}} \int d^{4}x e^{ipx}\langle \text{vac}|T\big(G(x)\tilde{G}(x)G(0)\tilde{G}(0)\big)|\text{vac}\rangle$$ En particular, su valor para $p = 0$genera la corrección $\Delta m_{\eta'}^{2}$a $\eta{'}$masa, que de hecho es mucho más grande que el inicial "desnudo" $m_{\eta{'}}^{2}$, dando lugar a la solución del llamado $U_{A}(1)$problema en el QCD.

La integral es proporcional a la llamada susceptibilidad topológica$\kappa (p^{2})$, definido como

$$\kappa (p^{2}) \equiv \int d^{4}x e^{ipx}\langle \text{vac}|T\big(G(x)\tilde{G}(x)G(0)\tilde{G}(0)\big)|\text{vac}\rangle$$ Como sabemos, se genera de forma no perturbativa por instantes, ya que está determinada por las fluctuaciones de las cargas topológicas al cuadrado. Se puede dar en forma $$\tag 3 \Pi(p^{2}) \simeq \frac{1}{2f_{\pi}^{2}}\int d^{4}x e^{ipx}\left(\frac{\delta^{2}E(\theta)}{\delta\theta(x)\delta\theta(0)}\right)_{\theta = 0},$$ dónde $E(\theta)$es el QCD $\theta$-vacío potencial efectivo definido por la integral de trayectoria euclidiana $$\tag 4 e^{-E(\theta)} \equiv \int DG_{\mu}D\bar{\psi}D\psi e^{-S_{\text{QCD}} - \int d^{4}x\theta G_{\mu\nu}\tilde{G}^{\mu\nu}}$$ Los cálculos se dan en el siguiente artículo , Sec. 5. Algunas ideas generales sobre cómo calcular esta cantidad se dan en QFT vol. 2, 23.7. Lo esencial es que $(3)$es generado por las fluctuaciones alrededor de los puntos estacionarios del exponente $(4)$, que son soluciones instantáneas.