El significado físico detrás de un conmutador [duplicado]

Como dijiste, si dos operadores viajan, comparten vectores propios. Físicamente esto significa que puedes tener un valor definido para ambos. Por ejemplo, en el átomo de hidrógeno, el hamiltoniano$H$, que es la energía, y$J^2$, la magnitud del momento angular, conmuta. Un átomo de hidrógeno puede estar en un estado de energía definida y momento angular definido. Sin embargo, el operador de posición$x$no conmuta con$H$, por lo que en un estado de energía definida el electrón no tiene una posición bien definida.

Luego, a la inversa, el conmutador mide la incapacidad de dos cantidades para tener valores definidos en el mismo estado . Más cuantitativamente, tenemos el principio general de incertidumbre de Heisenberg

$$\Delta A \Delta B \ge \frac{1}{2} |\langle [A,B] \rangle |$$ es decir, el producto de las incertidumbres en $A$y $B$es al menos la mitad del (valor absoluto del) valor esperado de su conmutador. Por incertidumbre nos referimos a la desviación estándar habitual, $$\Delta A = \sqrt{\langle A^2\rangle - \langle A \rangle^2 }.$$

Para el operador de posición$x$y el operador de cantidad de movimiento$p$, el conmutador es solo un escalar,$i\hbar$; su valor esperado es siempre$i\hbar$. Obtenemos así el caso más famoso del principio de Heisenberg

$$\Delta x\Delta p \ge \frac{\hbar}{2}.$$

Ahora podrías preguntar por qué deberíamos tener$[p,x] = i\hbar$de todas las cosas. Bueno, en la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica hay una operación llamada corchete de Poisson,$\{F,G\}$. El corchete de Poisson tiene las mismas propiedades algebraicas que el conmutador (ambos son corchetes en un álgebra de Lie ) y satisface

$$\{ x_i, p_i \} = \begin{cases}1 & i = j \\ 0 & i \neq j\end{cases}.$$ Así que suponga que sabe que, independientemente de lo que sea la mecánica cuántica, los estados cuánticos son vectores y los observables son operadores, y desea descubrir cómo deben relacionarse esos operadores. Entonces sería tentador intentarlo $$[x,p] \overset{?}{=} 1.$$ El problema es ese $x$y $p$debe ser hermítica (para que los valores esperados sean siempre reales). Entonces $[x,p]$debe ser anti-hermitiano. Pero eso no es un gran problema, solo puedes multiplicar por $i$: $$[x,p] \overset{?}{=} i.$$ Está bien algebraicamente, pero $x$tiene unidades de longitud y $p$tiene unidades de cantidad de movimiento, por lo que también debemos poner una constante para obtener las unidades correctas: $$[x,p] \overset{?}{=} i\hbar.$$ Todavía pongo un signo de interrogación allí porque en realidad es solo una conjetura, pero los experimentos muestran que esta es la relación de conmutación correcta para usar. (Pues también hay que medir $\hbar$de alguna manera.)